2008高考数学总复习 三角函数的图象与性质（三）.doc

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2008高考数学总复习三角函数的图象与性质（三）

●知识梳理
1.能利用“五点法”作三角函数的图象，并能根据图象求解析式.
2.能综合利用性质，并能解有关问题.
●点击双基
1.（2003年春季上海）关于函数f（x）=sin2x－（）|x|+，有下面四个结论，其中正确结论的个数为
①f（x）是奇函数②当x＞2003时，f（x）＞恒成立③f（x）的最大值是④f（x）的最小值是－
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：显然f（x）为偶函数，结论①错.
对于结论②，当x=1000π时，x＞2003，sin21000π=0，∴f（1000π）=－（）1000π＜，因此结论②错.
又f（x）=－（）|x|+=1－cos2x－（）|x|，－1≤cos2x≤1，
∴－≤1－cos2x≤.
故1－cos2x－（）|x|＜，即结论③错.
而cos2x，（）|x|在x=0时同时取得最大值，所以f（x）=1－cos2x－（）|x|在x=0时可取得最小值－，即结论④是正确的.
答案：A
2.（2004年天津，12）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f（x）=sinx，则f（）的值为
A.－ B. C.－ D.
解析：f（）=f（－2π）=f（－）=f（）=sin=.
答案：D
3.（2004年全国Ⅱ，10）函数y=xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数
A.（，） B.（π，2π）
C.（，） D.（2π，3π）
解析：用排除法，可知B正确.
答案：B
4.（2004年全国Ⅱ，11）函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为
A. B. C.π D.2π
解析：y=sin4x+cos2x
=（）2+
==+
=cos4x+.
故最小正周期T==.
答案：B
5.y=5sin（2x+θ）的图象关于y轴对称，则θ=_______.
解析：y=f（x）为偶函数.
答案：θ=kπ+（k∈Z）
●典例剖析
【例1】判断下面函数的奇偶性：
f（x）=lg（sinx+）.
剖析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（－x）的关系.
解：定义域为R，又f（x）+f（－x）=lg1=0，
即f（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数.
评述：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件.
【例2】求下列函数的单调区间：
（1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜.
剖析：（1）要将原函数化为y=－sin（x－）再求之.（2）可画出y=－|sin（x+）|的图象.
解：（1）y=sin（－）=－sin（－）.
故由2kπ－≤－≤2kπ+3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；由2kπ+≤－≤2kπ+3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间.
∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］，
递增区间为［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）.
（2）y=－|sin（x+）|的图象的增区间为［kπ－，kπ+］，减区间为［kπ+，kπ+］.

深化拓展
（2）不用图象能求解吗?
提示：y=－=－=－.
【例3】（2003年春季北京）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.
剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理.
解：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠+（k∈Z）.
所以f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠+，k∈Z}.
因为f（x）的定义域关于原点对称，且
f（－x）=
==f（x），
所以f（x）是偶函数.
又当x≠+（k∈Z）时，
f（x）===3cos2x－1，
所以f（x）的值域为{y|－1≤y＜或＜y≤2}.
评述：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.
●闯关训练
夯实基础
1.（2005年北京海淀区高三期末练习）函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数
A.（，） B.（π，2π）
C.（，） D.（2π，3π）
解析：仿前面第3小题依次排除A、B、D.
答案：C
2.为了使y=sinωx（ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是
A.98π B. C. D.100π
解析：49×T≤1，即×≤1，
∴ω≥.
答案：B
思考：若条件改为在［x0，x0+1］上至少出现50次最大值呢？
3.（2004年福建，11）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈［3，5］时，f（x）=2－|x－4|，则
A.f（sin）＜f（cos）