（全国版）高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第8讲 函数与方程学案-人教版高三全册数学学案.doc

第8讲函数与方程

板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1函数零点
1．定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
2．三个等价关系

3．存在性定理

考点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点x1，x2x1无考点3二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[必会结论]
1．若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点．
2.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示．所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．

3．若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac<0时没有零点．()
(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.()
(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．()
(5)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1≤k≤－eq\f(1,2).()
答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√
2．[课本改编]函数f(x)＝x－eq\f(4,x)的零点个数是()
A．0 B．1
C．2 D．无数个
答案C
解析令f(x)＝0，解x－eq\f(4,x)＝0，即x2－4＝0，且x≠0，则x＝±2.
3．[课本改编]方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为()
A．2 B．3
C．1 D．4
答案A

解析构造函数y＝2－x与y＝3－x2，在同一坐标系中作出它们的图象，可知有两个交点，故方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为2.故选A.
4．[2018·西安模拟]设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案B

解析函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出图象如图，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.
5．[2018·安徽模拟]在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
答案－eq\f(1,2)

解析函数y＝|x－a|－1的大致图象如图所示，∴若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，只需2a＝－1，可得a＝－eq\f(1,2).
6．[2018·贵阳监测]用二分法求图象连续不断的函数f(x)在(1,5)上的近似解(精确度为0.1)，求解的部分过程如下：f(1)·f(5)<0，取(1,5)的中点x1＝eq\f(1＋5,2)＝3，计算得f(1)·f(x1)<0，f(x1)·f(5)>0，则此时能判断函数f(x)一定有零点的区间为________．
答案(1,3)
解析因为函数f(x)为连续函数且f(1)·f(3)<0，所以函数f(x)在(1,3)内一定有零点．
板块二典例探究·考向突破
考向确定函数零点所在区间
例1[2018·德州模拟]函数f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)的零点所在的区间是()
A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．(1，e－1)
C．(e－1,2) D．(2，e)
答案C
解析因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝lneq\f(3,2)－4<0，f(1)＝ln2－2<0，f(e－1)＝1－eq\f(2,e－1)<0，f(2)＝ln3－1>0，所以f(e－1)f(2)<0，故函数的零点所在的区间是(e－1,2)．
【变式训练1】函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(