高考数学二轮复习 专题四 第1讲 直线与圆学案-人教版高三全册数学学案.docx

第1讲直线与圆
考向预测

1．直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重点；
2．考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题．

1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1．若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．
3．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r．
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)．
4．直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；
d>r⇔相离．
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；
Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．

热点一直线的方程
【例1】(2018·江南十校)已知点M(a,b)，a>0，b>0是圆C:x2+y2=1内一点，直线ax+by=1，ax+by=-1，ax-by=1，ax-by=-1围成的四边形的面积为S，则下列说法正确的是（）
A．S>4 B．S≥4 C．S<4 D．S≤4
解析由已知a2+b2<1，四条直线围成的四边形面积S=42ab≥4a2+b2>4．
答案A
探究提高1．求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
2．求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．
【训练1】(2017·贵阳质检)已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析“l1⊥l2”的充要条件是“m(m－3)＋1×2＝0⇔m＝1或m＝2”，因此“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
答案A

热点二圆的方程
【例2】(2019·江西名校联盟)已知点A(-2,-1)，B(1,3)，则以线段AB为直径的圆的方程为（）
A．(x-12)2+(y+1)2=25 B．(x+12)2+(y-1)2=25
C．(x-12)2+(y+1)2=254 D．(x+12)2+(y-1)2=254
解析圆心为AB的中点-12,1，半径为(-12+2)2+(1+1)2=52，
则以线段AB为直径的圆的方程为(x+12)2+(y-1)2=254．
答案D．
探究提高1．直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2．待定系数法求圆的方程．
【训练2】圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长为2eq\r(3)，则圆C的标准方程为________．
解析设圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)))(a>0)，半径为a．
由勾股定理得(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝a2，解得a＝2．
所以圆心为(2，1)，半径为2，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4．
答案(x－2)2＋(y－1)2＝4
热点三直线与圆的位置关系
【例3】(1)(2019·银川一中)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|OA+OB|=|OA-OB|，
其中O为坐标原点，则实数a的值为（）
A．2 B．±2 C．－2 D．±2
(2)(2017·菏泽二模)已知圆C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线l：y＝a(x－3)被圆C截得的弦长最短时，直线l方程为________．
解析(1)由|OA+OB|=|OA-OB|得OA+OB2=OA-OB2，OA⋅OB=0，OA⊥OB，
三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即a2=2，a＝±2，
故选B．
(2)圆C的