高考数学二轮复习 专题七 选考系列 第1讲 坐标系与参数方程学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

第1讲坐标系与参数方程
高考定位高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.

真题感悟
1.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.
解(1)曲线C的直角坐标方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，
当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，
整理得关于t的方程
(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－eq\f(4（2cosα＋sinα）,1＋3cos2α)，
故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.
2.(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－3＝0，
即(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，
所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝－eq\f(4,3)或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－eq\f(4,3)时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时，
A到l2所在直线的距离为2，
所以eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝0或k＝eq\f(4,3).
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝eq\f(4,3)时，l2与C2没有公共点.
综上，所求C1的方程为y＝－eq\f(4,3)|x|＋2.
考点整合

1.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)（x≠0）.))
2.直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
(1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
(3)直线过Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))且平行于极轴：ρsinθ＝b.
3.圆的极坐标方程
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；
(3)当圆心位于Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半径为r：ρ＝2rsinθ.
4.直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数).
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段eq\o(P0P,\s\up6(→))的数量.
5.圆、椭圆的参数方程