高考数学二轮复习 专题八 选考4系列选讲 2.8.1 坐标系与参数方程学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

2.8.1坐标系与参数方程

1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
[解](1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为
(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．
记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝－eq\f(4,3)或k＝0，经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－eq\f(4,3)时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝0或k＝eq\f(4,3).经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝eq\f(4,3)时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－eq\f(4,3)|x|＋2.
2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，过点(0，－eq\r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
[解](1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝eq\f(π,2)时，l与⊙O交于两点．
当α≠eq\f(π,2)时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－eq\r(2).l与⊙O交于两点当且仅当eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),\r(1＋k2))))<1，解得k<－1或k>1，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))或α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).
综上，α的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).
(2)l的参数方程为
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－\r(2)＋tsinα))(t为参数，eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4))．
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝eq\f(tA＋tB,2)，且tA，tB满足t2－2eq\r(2)tsinα＋1＝0.
于是tA＋tB＝2eq\r(2)sinα，tP＝eq\r(2)sinα.
又点P的坐标(x，y)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tPcosα，,y＝－\r(2)＋tPsinα.))
所以点P的轨迹的参数方程是
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cos2α))(α为参数，eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4))．

1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．
2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．