上海交通大学附属中学2021届高三上学期开学摸底考试数学试题 WORD版含答案.doc

2020交大附中高三数学开学摸底考试卷2020.09
一.填空题
1.已知集合，，则
2.已知是虚数单位，则复数的虚部是
3.已知一组数据4、、、5、6的平均数为4，则的值是
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是
5.的展开式中的系数为
6.如果方程的两个根为、，那么的值为
7.设是公差为QUOTE的等差数列，是公比为QUOTE的等比数列，已知数列的前QUOTE项和（），则QUOTE的值是
8.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知螺帽的底面正六边形边长为2，高为2，内孔半径为0.5，则此六角螺帽毛坯的体积是
9.将函数的图像向右平移个单位长度，则平移后的图像中与QUOTE轴最近
的对称轴的方程
10.已知（），则的最小值是
11.在△中，，，，
QUOTE在边QUOTE上，延长QUOTE到QUOTE，使得，若（QUOTE为常数），则QUOTE的长度是
12.在平面直角坐标系中，已知，QUOTE、是上的两个不同的动点，满足，且恒成立，则实数最小值是
二.选择题
13.函数QUOTE在区间QUOTE上的图像可能是（）

A.B.C.D.
14.已知QUOTE、、为球的球面上的三个点，⊙为△的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）
A.B.C.D.

15.若点在函数的图像上，为函数的反函数，设、、、，则有（）
A.点、、、有可能都在函数的图像上B.只有点不可能在函数的图像上
C.只有点不可能在函数的图像上D.点、都不可能在函数的图像上
16.设集合、，，，、中至少有2个元素，且、满足：①对于任意的，若，则；②对于任意的，若，则；下列命题正确的是（）
A.若有4个元素，则有7个元素B.若有4个元素，则有6个元素
C.若有3个元素，则有5个元素D.若有3个元素，则有4个元素
三.解答题
17.在三棱锥中，已知QUOTE，，为的中点，QUOTE平面QUOTE，QUOTE，为QUOTE的中点.
（1）求直线QUOTE与QUOTE所成角的余弦值；
（2）若点QUOTE在QUOTE上，满足QUOTE，设二面角QUOTE的大小为，求QUOTE的值.

18.在锐角△QUOTE中，角、、所对的边分别为QUOTE、、，已知.
（1）求角QUOTE的大小；（2）求QUOTE的取值范围.

19.已知函数.
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集；
（3）若不等式，对于任意的，任意的恒成立，
求实数的取值范围.

20.在平面直角坐标系QUOTE中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点QUOTE在椭圆QUOTE上且在
第一象限内，，直线与椭圆QUOTE相交于另一点.
（1）求△的周长；
（2）在QUOTE轴上任取一点QUOTE，直线QUOTE与直线相交于点QUOTE，求的最小值；
（3）设点QUOTE在椭圆QUOTE上，记△与△的面积分别为、，若，求点的坐标.

21.已知数列（）的首项，前项和为，设QUOTE与QUOTE是常数，若对一切正整数QUOTE，均有成立，则称此数列为“QUOTE”数列.
（1）若等差数列是“”数列，求λ的值；
（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；
若不存在，说明理由.

参考答案
一.填空题1.2.13.24.
5.156.7.48.
9.10.11.或012.49
二.选择题13.A14.A15.D16.A
三.解答题
17.（1）连结OC，∵CB=CD，O为BD中点，∴CO⊥BD，又AO⊥平面BCD，∴AO⊥OB，AO⊥OC，
以为基底，建立空间直角坐标系，∵BD=2，，AO=2，
∴B（1，0，0），D（–1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），
∵E为AC的中点，∴E（0，1，1），
则，，
∴，
∴直线AB与DE所成角的余弦值为.
（2）∵点F在BC上，，，
∴，又，∴，
设为平面DEF的一个法向量，
则即，
取，得，，∴，
设为平面DEC的一个法向量，又，
则即，取，得，，∴，
∴，∴．

18.（1）由正弦定理得：，∴，由题意得.
（2）由得：，由是锐角三角形得，
由得
，
∴的取值范围是.
19.（1）由题设知的图像如图所示.