高中数学 第2章23知能优化训练 新人教A版选修2 试题.doc

1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
解析：选C.由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为eq\f(1,2)n(n－3)条时，第一步验证n等于()
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选C.因为是证凸n边形，所以应先验证三角形．故选C.
3．用数学归纳法证明eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)>eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2).
假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
解析：观察不等式中的分母变化知，eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3).
答案：eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3)
4．用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·eq\f(nn＋1,2).
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×eq\f(1×2,2)＝1，结论成立．
(2)假设当n＝k时，结论成立．
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·eq\f(kk＋1,2)，
那么当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·eq\f(kk＋1,2)＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k·(k＋1)eq\f(－k＋2k＋2,2)
＝(－1)k·eq\f(k＋1k＋2,2).
即n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．

一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式()
A．1＋eq\f(1,2)<2 B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2
C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<3 D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)<3
解析：选B.∵n>1且n∈N*，∴n取的第一个值n0＝2，故选B.
2．(2011年高考江西卷)观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为()
A．3125 B．5625
C．0625 D．8125
解析：选D.∵55＝3125,56＝15625,57＝78125，
58末四位数字为0625,59末四位数字为3125，
510末四位数字为5625,511末四位数字为8125，
512末四位数字为0625，…，
由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，
∴52011＝54×501＋7末四位数字为8125.
3．在数列{an}中，an＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，则ak＋1等于()
A．ak＋eq\f(1,2k＋1) B．ak＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,2k＋4)
C．ak＋eq\f(1,2k＋2) D．ak＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2)
解析：选D.a1＝1－eq\f(1,2)，a2＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…，
an＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，
ak＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋