高二数学期中复习 导数与推理 苏教版.doc

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高二数学期中复习导数与推理
一.本周教学内容：
期中复习：导数与推理

二.重点、难点：
教学重点：
1、掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念．
2、熟记基本导数公式：xm（m为有理数）、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
4、能用归纳和类比等进行简单的推理，了解推理在数学发现中的作用．掌握演绎推理的基本格式，并能运用它们进行一些简单推理．
教学难点：
导数的定义和导数的几何意义的理解与运用，理解导数的工具性．

三.主要知识点
1、导数的知识网络

2、推理的结构

3、方法总结
（1）在导数的定义中“比值叫做函数在到之间的平均变化率”；
（2）用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对与定义法解决单调性问题是十分简捷的；
（3）理解和掌握导数及其有关概念是本章学习的基础；会对简单的初等函数进行求导是本章的重点；会求一些实际问题的最大值与最小值是培养能力的关键.
4、概念与公式
（1）导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作．
（2）导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
（3）求函数的导数的一般方法：
①求函数的改变量
②求平均变化率
③令，得导数＝
（4）常见函数的导数公式：
；；；
对数函数的导数：
指数函数的导数：
（5）法则1.
法则2，
法则3
（6）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）．②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间．③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间．
（7）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f′（x）．②求方程f′（x）＝0的根③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
（8）利用导数求函数的最值步骤：①求在内的极值；②将的各极值与、比较得出函数在上的最值
（9）各种推理的思维模式
归纳推理的思维过程为：实验、观察概括、推广猜测一般结论．
类比推理的思维过程为：观察、比较联想、类推猜测新的结论
演绎推理的思维过程为：大前提：M是P，小前提：S是M，结论：S是P．

【典型例题】
例1下列函数的导数
①②
分析：利用导数的四则运算求导数
①法一：

∴
法二：
＝＋

②
∴

例2如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程
解：∵切线与直线平行，∴斜率为4
又切线在点的斜率为
∵∴
或
∴切点为（1，－8）或（－1，－12）
切线方程为或
即或

例3求抛物线上与点距离最近的点
解：设为抛物线上一点，
则
∵|MA|与同时取到极值
令
由得是唯一的驻点
当或时，是的最小值点，此时
即抛物线上与点距离最近的点是（2，2）

例4通过计算可得下列等式：

……

将以上各式分别相加得：
即：
类比上述求法：请你求出的值.
解

……

将以上各式分别相加得：

所以：

例5设图像的一条对称轴是．
（1）求的值；
（2）求的增区间；
（3）证明直线与函数的图像不相切．
解：（1）由对称轴是，得，
而，所以
（2）
，增区间为
（3），即曲线的切线的斜率不大于，而直线的斜率，即直线不是函数的切线．

例6已知函数f（x）＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．
（1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线方程．
解：（1）f′（x）＝3ax2＋2bx－3，
依题意，f′（1）＝f′（－1）＝0，即
解得a＝1，b＝0
∴f（x）＝x3－3x，f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1）
令f′（x）＝0，得x＝－1，x＝1
若x∈（－∞，－1）∪（1，＋∞），则f′（x）＞0，故
f（x）在（－∞，－1）上是增函数，
f（x）在（1，＋∞）上也是增函数
若x∈（－1，1），则f′（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数
所以f（－1）＝2是极大值，f（1）＝－2是极小值
（2）曲线方程为y＝x3－3x，点A（0，16）不