高二数学期中复习：导数与推理苏教版知识精讲.doc

用心爱心专心115号编辑高二数学期中复习：导数与推理苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：期中复习：导数与推理二.重点、难点：教学重点：1、掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念．2、熟记基本导数公式：xm（m为有理数）、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．4、能用归纳和类比等进行简单的推理，了解推理在数学发现中的作用．掌握演绎推理的基本格式，并能运用它们进行一些简单推理．教学难点：导数的定义和导数的几何意义的理解与运用，理解导数的工具性．三.主要知识点1、导数的知识网络2、推理的结构3、方法总结（1）在导数的定义中“比值叫做函数在到之间的平均变化率”；（2）用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对与定义法解决单调性问题是十分简捷的；（3）理解和掌握导数及其有关概念是本章学习的基础；会对简单的初等函数进行求导是本章的重点；会求一些实际问题的最大值与最小值是培养能力的关键.4、概念与公式（1）导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作．（2）导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为（3）求函数的导数的一般方法：①求函数的改变量②求平均变化率③令，得导数＝（4）常见函数的导数公式：；；；对数函数的导数：指数函数的导数：（5）法则1.法则2，法则3（6）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）．②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间．③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间．（7）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f′（x）．②求方程f′（x）＝0的根③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．（8）利用导数求函数的最值步骤：①求在内的极值；②将的各极值与、比较得出函数在上的最值（9）各种推理的思维模式归纳推理的思维过程为：实验、观察概括、推广猜测一般结论．类比推理的思维过程为：观察、比较联想、类推猜测新的结论演绎推理的思维过程为：大前提：M是P，小前提：S是M，结论：S是P．【典型例题】例1下列函数的导数①②分析：利用导数的四则运算求导数①法一：∴法二：＝＋②∴例2如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程解：∵切线与直线平行，∴斜率为4又切线在点的斜率为∵∴或∴切点为（1，－8）或（－1，－12）切线方程为或即或例3求抛物线上与点距离最近的点解：设为抛物线上一点，则∵|MA|与同时取到极值令由得是唯一的驻点当或时，是的最小值点，此时即抛物线上与点距离最近的点是（2，2）例4通过计算可得下列等式：……将以上各式分别相加得：即：类比上述求法：请你求出的值.解……将以上各式分别相加得：所以：例5设图像的一条对称轴是．（1）求的值；（2）求的增区间；（3）证明直线与函数的图像不相切．解：（1）由对称轴是，得，而，所以（2），增区间为（3），即曲线的切线的斜率不大于，而直线的斜率，即直线不是函数的切线．例6已知函数f（x）＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．（1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线方程．解：（1）f′（x）＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′（1）＝f′（－1）＝0，即解得a＝1，b＝0∴f（x）＝x3－3x，f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1）令f′（x）＝0，得x＝－1，x＝1若x∈（－∞，－1）∪（1，＋∞），则f′（x）＞0，故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，＋∞）上也是增函数若x∈（－1，1），则f′（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数所以f（－1）＝2是极大值，f（1）＝－2是极小值（2）曲线方程为y＝x3－3x，点A（0，16）不在曲线上设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0＝x03－3x0因f′（x0）＝3（x02－1），故切线的方程为y－y0＝3（x02－1）（x－x0）注意到点A（0，16）在切线上，有16－（x03－3x0）