高中数学 第8章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 课时作业34 直线与直线垂直 新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题.doc

课时作业34直线与直线垂直

知识点一异面直线所成的角
1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝eq\r(3)，AA1＝eq\r(2)，则异面直线AC1与BB1所成的角为()
A．30°B．45°C．60°D．90°
答案C
解析如图，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．
因为tan∠A1AC1＝eq\f(A1C1,AA1)

＝eq\f(\r(\r(3)2＋\r(3)2),\r(2))＝eq\r(3)，所以∠A1AC1＝60°，故选C.
2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()

A．CC1与B1E是异面直线
B．CC1与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
答案C
解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，A错误；由于CC1在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故CC1与AE是异面直线，同理，AE与B1C1是异面直线，所以B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D错误．故选C.
3．在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，求：
(1)A′B和AD′所成的角；
(2)D′B和AC所成的角．
解(1)如图，连接BC′，A′C′，

∵AD′∥BC′，
∴∠A′BC′即为A′B与AD′所成的角．又A′C′＝A′B＝BC′＝eq\r(2)a，
∴∠A′BC′＝60°，
∴A′B和AD′所成的角为60°.
(2)如图，连接BD，与AC交于点O，则O为AC的中点，取DD′的中点E，连接OE，则OE∥BD′，则∠AOE即为AC与BD′所成的角．连接AE，CE，
则AE＝CE，∴△ACE为等腰三角形．
∴EO⊥AC，即∠AOE＝90°.
∴D′B和AC所成的角为90°.
知识点二异面直线的垂直
4.长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有()
A．6条 B．8条
C．10条 D．12条
答案B
解析12条棱所在直线中与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．
5．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c共面，则a与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a∥c，则b⊥c.
其中，正确命题的个数是()
A．0B．1C．2D．3
答案B
解析①不正确，如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③正确，故选B.

6.如图所示，在空间四边形ABCD中，两条对边AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且eq\f(AE,ED)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，EF＝eq\r(5)，求证：AB⊥CD.

证明如图，连接BD，过点E作AB的平行线交BD于点O，连接OF.

∵EO∥AB，∴eq\f(BO,OD)＝eq\f(AE,ED)＝eq\f(1,2)，eq\f(EO,AB)＝eq\f(DE,DA)＝eq\f(2,3).
又AB＝3，∴EO＝2.
∵eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BO,OD)＝eq\f(BF,FC)，∴OF∥DC.
∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AB和CD所成的角．
∴eq\f(OF,DC)＝eq\f(BF,BC)＝eq\f(1,3).∵DC＝3，∴OF＝1.
在△OEF中，∵OE2＋OF2＝5，EF2＝(eq\r(5))2＝5，
∴OE2＋OF2＝EF2，∴∠EOF＝90°.
∴AB和CD所成的角为90°.
∴AB⊥CD.

一、选择题
1．如果空间两条直线互相垂直，那么它们()
A．一定相交 B．是异面直线
C．是共面直线 D．一定不平行
答案D
解析由平面几何知识和异面垂直的定义可知，互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直，故选D.
2．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M和CN所成角的大小是()

A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案A
解析如图，取AA′的中点E，连接BE，EN，则BE∥NC，∴异面直线B′M和CN所成的角就是直线BE与直线B′M所成的锐角(或直角)，根据△ABE≌△BB′M可得BE⊥B′M，∴异面直线B′M和CN所成的角为90°.

3．在长方体ABCD