2013高考数学 能力加强集训 专题四第1讲 空间几何体（含详解）.doc

专题四第1讲空间几何体
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(2012·西城一模)已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为12eq\r(3)cm3.其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是

A．4eq\r(3)cm2 B．2eq\r(3)cm2
C．8cm2 D．4cm2
解析设正六棱柱的底面边长与侧棱都为a，则其体积为
V＝6×eq\f(\r(3),4)a2×a＝12eq\r(3)，∴a＝2cm.
正六棱柱的左视图是宽为2cm，长为2eq\r(3)cm的矩形，
所以左视图的面积为2×2eq\r(3)＝4eq\r(3).
答案A
2．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是

A．②③④ B．①②③
C．①③④ D．①②④
解析①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．
答案A
3．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是
A.eq\f(3,2)π B.eq\f(5,2)π
C.eq\f(7,2)π D.eq\f(9,2)π
解析依题意可知，△ABC绕直线BC旋转一周，可得如图所示的一个几何体，该几何体是由底面半径为2sin60°＝eq\r(3)，高为1.5＋2×cos60°＝2.5的圆锥，挖去一个底面半径为eq\r(3)，高为1的圆锥所形成的几何体，则该几何体的体积V＝eq\f(1,3)π×(eq\r(3))2×(2.5－1)＝eq\f(3,2)π，故应选A.

答案A
4．有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
解析命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．
答案A

5．(2012·北京东城11校联考)一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是

A．112 B．80
C．72 D．64
解析该几何体是由一个四棱锥与一个正方体拼接而成的，其中四棱锥的高为3、底面是边长为4的正方形，正方体的棱长为4，∴该几何体的体积为V＝eq\f(1,3)×3×42＋43＝80.
答案B
6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．48 B．32＋8eq\r(17)
C．48＋8eq\r(17) D．80

解析本题主要考查直四棱柱的三视图及四棱柱的表面积公式，由三视图可知该空间几何体是底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，如图所示，则该直四棱柱的表面积S＝2×eq\f(1,2)×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×eq\r(1＋16)×4＝48＋8eq\r(17).
答案C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2012·太原模拟)盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下将________cm.
解析设水面将下降xcm，据题意知
π×52×x＝2×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3，解得x＝eq\f(5,3)cm.
答案eq\f(5,3)
8．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．
解析∵PA⊥底面ABC，∴PA为三棱锥P－ABC的高，且PA＝3.
∵底面ABC为正三角形且边长为2，
∴底面面积为eq\f(1,2)×22×sin60°＝eq\r(3)，
∴VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×