2013高考数学 能力加强集训 专题四第3讲 空间向量与立体几何（含详解）.doc

专题四第3讲空间向量与立体几何
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量是
A．±(1,1,1) B．±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
C．±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D．±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
解析设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，
则n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，
故n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，
即－x＋y＝0，－x＋z＝0，取x＝1，得y＝z＝1，即平面ABC的一个法向量是(1,1,1)，单位化得±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).故选C.
答案C
2．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面π的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面π，则x的值为
A．－2 B．－eq\r(2)
C.eq\r(2) D．±eq\r(2)
解析线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，
故x2－2＝0，解得x＝±eq\r(2)，故选D.
答案D
3．平面α，β的法向量分别是n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,0，－1)，则平面α，β所成锐角的余弦值是
A.eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)
C.eq\f(\r(6),3) D．－eq\f(\r(6),3)

解析cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq\f(－2,\r(3)×\r(2))＝－eq\f(\r(6),3)，故平面α，β所成角的余弦值是eq\f(\r(6),3).
答案C
4．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1,1)的直线l的距离为eq\r(6)，则点M的坐标是
A．(0,0，±2) B．(0,0，±3)
C．(0,0，±eq\r(3)) D．(0,0，±1)
解析设M为(0,0，z)，直线l的一个单位方向向量为s0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，
故点M到直线l的距离d＝eq\r(|\o(OM,\s\up6(→))|2－|\o(OM,\s\up6(→))·s0|2)＝eq\r(z2－\f(1,3)z2)＝eq\r(6)，解得z＝±3.
答案B
5．(2012·抚州一中月考)已知直线l的方向向量为l，直线m的方向向量为m，若l＝αb＋βc(α，β∈R)，m∥a，a⊥b，a⊥c且a≠0，则直线m与直线l
A．共线 B．相交
C．垂直 D．不共面
解析由m∥a且a≠0，可得：m＝ta(t∈R)，
所以m·l＝m·(αb＋βc)＝αm·b＋βm·c＝αta·b＋βta·c＝0，故m与l垂直，即直线m与直线l垂直．
答案C
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为
A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)
C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)
解析如图建立直角坐标系，设AB＝1，
则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,1,0)，
eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))·n＝x＋y＝0,\o(AD1,\s\up6(→))·n＝y＋z＝0))
令z＝1，则y＝－1，x＝1，
∴n＝(1，－1,1)．
又eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，∴cos〈eq\o(BB1,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\r