2013高考数学 能力加强集训 专题一第5讲 导数及其应用（含详解）.doc

专题一第5讲导数及其应用
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝
A．－e B．－1
C．1 D．e
解析f′(x)＝2f′(1)＋eq\f(1,x)，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋1，
∴f′(1)＝－1.故选B.
答案B
2．(2012·泉州模拟)已知曲线y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一条切线的斜率为eq\f(1,2)，则切点的横坐标为
A．3 B．2
C．1 D.eq\f(1,2)
解析设切点为(x0，y0)．
∵y′＝eq\f(1,2)x－eq\f(3,x)，
∴eq\f(1,2)x0－eq\f(3,x0)＝eq\f(1,2)，
解得x0＝3(x0＝－2舍去)．
答案A
3．(2012·聊城模拟)求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是
A．S＝eq\i\in(0,1,)(x2－x)dx B．S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx
C．S＝eq\i\in(0,1,)(y2－y)dy D．S＝eq\i\in(0,1,)(y－eq\r(y))dy
解析两函数图象的交点坐标是(0,1)，(1,1)，
故积分上限是1，下限是0，
由于在[0,1]上，x≥x2，故求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx.
答案B
4．函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则a的取值范围是
A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ln2，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)ln2))
C．(－∞，0] D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)ln2))
解析当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，函数的极大值点是x＝－1，极小值点是x＝0，当x＝－1时，f(x)＝2，故只要在(0,2]上eax≤2即可，即ax≤ln2在(0,2]上恒成立，即a≤在(0,2]上恒成立，故a≤eq\f(1,2)ln2.
答案D
5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是

解析设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，得当x＝－1时，ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1、x2，则x1x2＝eq\f(a,a)＝1，D中图象一定不满足该条件．
答案D
6．设a∈R，若函数f(x)＝eax＋3x(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是
A．(－3,2) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－3,4)

解析由已知得f′(x)＝3＋aeax，若函数f(x)在x∈R上有大于零的极值点，则f′(x)＝3＋aeax＝0有正根．当3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝eq\f(1,a)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,a)))，由x＞0得到参数a的取值范围为a＜－3.
答案C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2012·济南三模)曲线y＝ex＋x2在点(0,1)处的切线方程为________．
解析y′＝ex＋2x，∴所求切线的斜率为e0＋2×0＝1，
∴切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
答案x－y＋1＝0
8．(2012·枣庄市高三一模)eq\i\in(0,1,)eq\r(4－x2)dx＝________.
解析eq\i\in(0,1,)eq\r(4－x2)dx表示圆x2＋y2＝4中阴影部分的面积的大小，易知∠AOB＝eq\f(π,6)，OC＝1，
∴eq\i\in(0,1,)eq\r(4－x2)dx＝S△OBC＋S扇形AOB
＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×eq\f(π,6)×22＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,3).
答案eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,3)
9．(2012·泉州模拟)若函数