2015届高考数学大一轮复习 课时训练25 平面向量的概念及其线性运算 理 苏教版.doc

课时跟踪检测(二十五)平面向量的概念及其线性运算
第Ⅰ组：全员必做题
1．设a、b是两个非零向量，下列结论正确的有________．(填写序号)
①若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
②若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
③若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
④若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
2．(2013·徐州期中)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
3．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝eq\f(1,2)，P是BN上的一点，若＝m＋eq\f(2,9)，则实数m的值为________．
4．(2013·南通期中)设D，P为△ABC内的两点，且满足＝eq\f(1,4)(＋)，＝＋eq\f(1,5)，则eq\f(S△APD,S△ABC)＝________.
5．(2014·南通期末)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3a＋4b＋5c＝0，则a∶b∶c＝________.
6．(2014·淮阴模拟)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
7．(2014·苏北四市质检)已知a，b是非零向量，且a，b的夹角为eq\f(π,3)，若向量p＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)，则|p|＝________.
8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝eq\f(1,2)a－b；②＝a＋eq\f(1,2)b；③＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④＋＋＝0.
其中正确命题的个数为________．
9.(2013·苏北四市三调)如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，其中m，n∈(0,1)．设EF的中点为M，BC的中点为N.
(1)若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
(2)若m＋n＝1，求||的最小值．

10.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝eq\f(2,3)，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．

第Ⅱ组：重点选做题
1．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且＝a，＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，用a、b表示，则＝________.
2．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．

答案
第Ⅰ组：全员必做题
1．解析：对于①，可得cosa，b＝－1，因此a⊥b不成立；对于②，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于③，可得cosa，b＝－1，因此成立，而④显然不一定成立．
答案：③
2．解析：设M为边AC的中点．因为＋＝－2，所以点O是△ABC的中线BM的中点，从而所求面积之比为1∶2.
答案：1∶2
3．解析：如图，因为＝eq\f(1,2)，
所以＝eq\f(1,3)，
＝m＋eq\f(2,9)＝m＋eq\f(2,3)，因为B、P、N三点共线，
所以m＋eq\f(2,3)＝1，所以m＝eq\f(1,3).
答案：eq\f(1,3)
4．解析：设E为边BC的中点．
由＝eq\f(1,4)(＋)可知，
点D在△ABC的中线AE上，且AD＝eq\f(1,2)AE，
由＝＋eq\f(1,5)，得＝eq\f(1,5)，
利用平面几何知识知eq\f(S△APD,S△ABC)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,10).
答案：eq\f(1,10)
5．解析：在△ABC中有＋＋＝0，
又3a＋4b＋5c＝0，消去得
(3a－5c)＋(4b－5c)＝0，
从而3a－5c＝0,4b－5c＝0，
故a∶b∶c＝20∶15∶12.
答案：20∶15∶12
6．解析：由题目条件可知，M为△ABC的重心，
连结AM并延长交BC于D，
则＝eq\f(2,3)，
因为AD为中线，
则＋＝2＝3，
所以m＝3.
答案：3
7．解析：eq\f(a,|a|)和eq\f(b,|b|)分别表示与a，b同向的单位向量，
所以长度均为1.又二者的夹角为eq\f(π,3)，
故|p|＝eq\r(1＋1＋2×1×1×cos\f(π,3))＝eq\r(3).
答案：eq\r(3)
8．解析：＝a，＝b，＝eq\f(1,2)＋
＝－eq\f(1,2)a－b，故①错；
＝＋