高考数学大二轮复习 层级二 专题四 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法教学案（理）-人教版高三全册数学教学案.doc

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(理)第3讲立体几何中的向量方法
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空间向量在立体几何中的应用主要体现在利用空间向量解决立体几何中的位置关系、空间角以及空间距离的计算等问题，是每年高考的必考内容，并且以解答题的形式出现，其考查形式为一题多问，多步设问，通常第一问考查空间位置关系，第二、三问考查空间角或距离，难度中等．利用空间向量求空间角仍是重点，对于探索点或线满足所给关系的问题要引起重视．

[真题体验]
(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，

AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．
证明：(1)连B1C，ME，则MEeq\f(1,2)B1C，
又DN＝eq\f(1,2)A1D
而A1DB1C
∴MEND.
∴四边形MNDE为平行四边形，
∴MN∥DE
又MN⊄平面C1DE，
DE⊂平面C1DE
∴MN∥平面C1DE.
(2)取AB的中点F，连接DF，
由已知，DF⊥DC，DF⊥D1D.
以D为坐标原点，DF，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

∵AA1＝4，AB＝2.
∴A1(eq\r(3)，－1,4)，
M(eq\r(3)，1,2)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，2))，
则eq\o(A1M,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，
eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，－2)).
设平面MA1N的法向量为m＝(x，y，z)，
则m⊥eq\o(A1M,\s\up6(→))，m⊥eq\o(A1N,\s\up6(→))
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－2z＝0，,－\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y－2z＝0，))令y＝1，
得平面MA1N的一个法向量为m＝(－eq\r(3)，1,1)．
又平面AMA1的一个法向量为n＝(1,0,0)，
设二面角A－MA1－N的平面角为θ，则
cosθ＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝eq\f(－\r(3),\r(5))＝－eq\f(\r(15),5).
∴sinθ＝eq\f(\r(10),5).
即二面角A－MA1－N的正弦值为eq\f(\r(10),5).
[主干整合]
1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．
(1)线线夹角
设l，m的夹角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π,2)))，则
cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)＝eq\f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1)＋c\o\al(2,1))\r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2)＋c\o\al(2,2))).
(2)线面夹角
设直线l与平面α的夹角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π,2)))，则
sinθ＝eq\f(|a·μ|,|a||μ|)＝|cos〈a，μ〉|.
(3)面面夹角
设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)．
则|cosθ|＝eq\f(|μ·v|,|μ||v|)＝|cos〈μ，v〉|.

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以学习过的空间向量为基础，通过将几何向量化，以向量作为刻画空间中点、线、面位置关系的连接点，解决空间几何中难解决的问题.[例1]

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