高考数学大二轮复习 层级二 专题四 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法教学案（理）-人教版高三全册数学教学案.doc

-20-(理)第3讲立体几何中的向量方法[考情考向·高考导航]空间向量在立体几何中的应用主要体现在利用空间向量解决立体几何中的位置关系、空间角以及空间距离的计算等问题是每年高考的必考内容并且以解答题的形式出现其考查形式为一题多问多步设问通常第一问考查空间位置关系第二、三问考查空间角或距离难度中等．利用空间向量求空间角仍是重点对于探索点或线满足所给关系的问题要引起重视．[真题体验](2019·全国Ⅰ卷)如图直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形AA1＝4AB＝2∠BAD＝60°EMN分别是BCBB1A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．证明：(1)连B1CME则MEeq\f(12)B1C又DN＝eq\f(12)A1D而A1DB1C∴MEND.∴四边形MNDE为平行四边形∴MN∥DE又MN⊄平面C1DEDE⊂平面C1DE∴MN∥平面C1DE.(2)取AB的中点F连接DF由已知DF⊥DCDF⊥D1D.以D为坐标原点DFDCDD1所在直线分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系如图∵AA1＝4AB＝2.∴A1(eq\r(3)－14)M(eq\r(3)12)Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)2)－\f(12)2))则eq\o(A1M\s\up6(→))＝(02－2)eq\o(A1N\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)2)\f(12)－2)).设平面MA1N的法向量为m＝(xyz)则m⊥eq\o(A1M\s\up6(→))m⊥eq\o(A1N\s\up6(→))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－2z＝0－\f(\r(3)2)x＋\f(12)y－2z＝0))令y＝1得平面MA1N的一个法向量为m＝(－eq\r(3)11)．又平面AMA1的一个法向量为n＝(100)设二面角A－MA1－N的平面角为θ则cosθ＝eq\f(m·n|m|·|n|)＝eq\f(－\r(3)\r(5))＝－eq\f(\r(15)5).∴sinθ＝eq\f(\r(10)5).即二面角A－MA1－N的正弦值为eq\f(\r(10)5).[主干整合]1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝(a1b1c1)平面αβ的法向量分别为μ＝(a2b2c2)v＝(a3b3c3)则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2b1＝kb2c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3b2＝λb3c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线lm的方向向量分别为a＝(a1b1c1)b＝(a2b2c2)平面αβ的法向量分别为μ＝(a3b3c3)v＝(a4b4c4)(以下相同)．(1)线线夹角设lm的夹角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π2)))则cosθ＝eq\f(|a·b||a||b|)＝eq\f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|\r(a\o\al(21)＋b\o\al(21)＋c\o\al(21))\r(a\o\al(22)＋b\o\al(22)＋c\o\al(22))).(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π2)))则sinθ＝eq\f(|a·μ||a||μ|)＝|cos〈aμ〉|.(3)面面夹角设平面αβ的夹角为θ(0≤θ＜π)．则|cosθ|＝eq\f(|μ·v||μ||v|)＝|cos〈μv〉|.热点一利用向量法证明平行与垂直数学建模素养数学建模——用向量解决空间立体几何中的核心素养以学习过的空间向量为基础通过将几何向量化以向量作为刻画空间中点、线、面位置关系的连接点解决空间几何中难解决的问题.[例1](2019·沈阳三模)如图平面PAC⊥平面ABC△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形EFO分别是PAPBAC的中点AC＝16PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点证明FG∥平面BOE；(2)证明：在△ABO内存在一点M使FM⊥平面BOE.[证明](1)如图连接OP∵PA＝PC∴OP⊥AC又平面PAC⊥平面ABC∴OP⊥平面ABC.以点O为坐