高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.8 函数与方程教学案 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学教学案.docx

§2.8函数与方程
最新考纲考情考向分析结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，判断零点个数或求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.

1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210
概念方法微思考
函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？
提示不能．

题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(×)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(√)
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．(√)
题组二教材改编
2．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是()
A．(1,2) B．(2,3)
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))和(3,4) D．(4，＋∞)
答案B
解析∵f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－eq\f(2,3)>0，
且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数，
∴f(x)的零点在区间(2,3)内．
3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()
A．0B．1C．2D．3
答案B
解析由f′(x)＝ex＋3>0，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝eq\f(1,e)－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
4．若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案(－∞，4)
题组三易错自纠
5．已知函数f(x)＝x－eq\r(x)(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则()
A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3
C．x2<x3<x1 D．x3<x1<x2
答案C
解析作出y＝x与y＝eq\r(x)(x>0)，y＝－ex，y＝－lnx(x>0)的图象，如图所示，可知选C.

6．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是()
A．(－1,1) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案C
解析当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不符合题意．
当a≠0时，若Δ>0，f(0)·f(1)<0，则a>1.
若Δ＝0，即a＝－eq\f(1,8)，函数的零点是x＝－2，不符合题意，故选C.

函数零点所在区间的判定
1．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x－1)的零点所在的区间是()
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
答案B
解析函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x－1)在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续．
因为f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，所以f(2)f(3)<0，
所以函数的零点所在的区间是(2,3)．
2．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案A
解析函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，
由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，
因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.
所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<