高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.8 函数与方程教学案 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学教学案.docx

15§2.8函数与方程最新考纲考情考向分析结合二次函数的图象了解函数的零点与方程根的联系判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象判断零点个数或求相关参数的范围是高考的热点题型以选择、填空题为主也可和导数等知识交汇出现解答题中高档难度.1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[ab]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f(a)·f(b)<0那么函数y＝f(x)在区间(ab)内有零点即存在c∈(ab)使得f(c)＝0这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x10)(x20)(x10)无交点零点个数210概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)函数y＝f(x)在区间(ab)内有零点(函数图象连续不断)则f(a)·f(b)<0.(×)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(√)(4)f(x)＝x2g(x)＝2xh(x)＝log2x当x∈(4＋∞)时恒有h(x)<f(x)<g(x)．(√)题组二教材改编2．函数f(x)＝lnx－eq\f(2x)的零点所在的大致区间是()A．(12)B．(23)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1e)1))和(34)D．(4＋∞)答案B解析∵f(2)＝ln2－1<0f(3)＝ln3－eq\f(23)>0且函数f(x)的图象在(0＋∞)上连续不断f(x)为增函数∴f(x)的零点在区间(23)内．3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析由f′(x)＝ex＋3>0得f(x)在R上单调递增又f(－1)＝eq\f(1e)－3<0f(0)＝1>0因此函数f(x)有且只有一个零点．4．若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点则实数a的取值范围是________．答案(－∞4)题组三易错自纠5．已知函数f(x)＝x－eq\r(x)(x>0)g(x)＝x＋exh(x)＝x＋lnx(x>0)的零点分别为x1x2x3则()A．x1<x2<x3B．x2<x1<x3C．x2<x3<x1D．x3<x1<x2答案C解析作出y＝x与y＝eq\r(x)(x>0)y＝－exy＝－lnx(x>0)的图象如图所示可知选C.6．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(01)内恰有一个零点则实数a的取值范围是()A．(－11)B．[1＋∞)C．(1＋∞)D．(2＋∞)答案C解析当a＝0时函数的零点是x＝－1不符合题意．当a≠0时若Δ>0f(0)·f(1)<0则a>1.若Δ＝0即a＝－eq\f(18)函数的零点是x＝－2不符合题意故选C.函数零点所在区间的判定1．函数f(x)＝lnx－eq\f(2x－1)的零点所在的区间是()A．(12)B．(23)C．(34)D．(45)答案B解析函数f(x)＝lnx－eq\f(2x－1)在(1＋∞)上是增函数且在(1＋∞)上连续．因为f(2)＝ln2－2<0f(3)＝ln3－1>0所以f(2)f(3)<0所以函数的零点所在的区间是(23)．2．若a<b<c则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(ab)和(bc)内B．(－∞a)和(ab)内C．(bc)和(c＋∞)内D．(－∞a)和(c＋∞)内答案A解析函数y＝f(x)是开口向上的二次函数最多有两个零点由于a<b<c则a－b<0a－c<0b－c<0因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0f(b)＝(b－c)(b－a)<0f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0f(b)f(c)<0即f(x)在区间(ab)和区间(bc)内各有一个零点．3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时函数f(