高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案.doc

2.1.1曲线与方程
学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.

知识点一曲线与方程的概念
思考1设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？
(1){P|PA＝PB}(A，B是两个定点)；
(2){P|PO＝3cm}(O为定点).
答案(1)线段AB的垂直平分线；
(2)以O为圆心，3cm为半径的圆.
思考2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？
答案y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.
梳理一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
知识点二曲线的方程与方程的曲线解读
思考1曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明.
答案不能.还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.
思考2方程eq\r(x)－eq\r(y)＝0能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y＝0呢？
答案方程eq\r(x)－eq\r(y)＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程eq\r(x)－eq\r(y)＝0的解.例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点.方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线.
梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.
(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.

类型一曲线与方程的概念理解与应用
命题角度1曲线与方程的判定
例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是()
A.方程f(x，y)＝0的曲线是C
B.方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C.f(x，y)＝0是曲线C的方程
D.以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
答案B
解析不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、C、D错误.举例如下：曲线C：一、三象限角平分线，方程为|x|＝|y|，显然满足已知条件，但A、C、D错.
反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.
判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.
跟踪训练1设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是()
A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
答案D
解析“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A、C错，B显然错.
命题角度2曲线与方程的概念应用
例2证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
证明①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点.

因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，
即(