高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案.doc

2.1.1曲线与方程学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律学会分析、判断曲线与方程的关系强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.知识点一曲线与方程的概念思考1设平面内有一动点P属于下列集合的点组成什么图形？(1){P|PA＝PB}(AB是两个定点)；(2){P|PO＝3cm}(O为定点).答案(1)线段AB的垂直平分线；(2)以O为圆心3cm为半径的圆.思考2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案y＝±x.在直角坐标系中到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0y0)满足y0＝x0或y0＝－x0即(x0y0)是方程y＝±x的解；反之如果(x0y0)是方程y＝x或y＝－x的解那么以(x0y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.梳理一般地在直角坐标系中如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(xy)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考1曲线C上的点的坐标都是方程f(xy)＝0的解能否说f(xy)＝0是曲线C的方程？试举例说明.答案不能.还要验证以方程f(xy)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”曲线上的点都满足方程但曲线的方程不是x2＋y2＝4.思考2方程eq\r(x)－eq\r(y)＝0能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y＝0呢？答案方程eq\r(x)－eq\r(y)＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程eq\r(x)－eq\r(y)＝0的解.例如点A(－2－2)不满足方程但点A是第一、三象限角平分线上的点.方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线.梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(xy)＝0的解集之间是一一对应的关系曲线的性质可以反映在它的方程上方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系通过曲线上的点与实数对(xy)建立了一一对应关系使方程成为曲线的代数表示通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1曲线与方程的判定例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(xy)＝0的解”是正确的下列命题中正确的是()A.方程f(xy)＝0的曲线是CB.方程f(xy)＝0的曲线不一定是CC.f(xy)＝0是曲线C的方程D.以方程f(xy)＝0的解为坐标的点都在曲线C上答案B解析不论方程f(xy)＝0是曲线C的方程还是曲线C是方程f(xy)＝0的曲线都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解以方程的解为坐标的点都在曲线上所以A、C、D错误.举例如下：曲线C：一、三象限角平分线方程为|x|＝|y|显然满足已知条件但A、C、D错.反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)只要一一检验定义中的“两性”是否都满足并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.跟踪训练1设方程f(xy)＝0的解集非空如果命题“坐标满足方程f(xy)＝0的点都在曲线C上”是不正确的那么下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(xy)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(xy)＝0C.坐标满足方程f(xy)＝0的点有些在曲线C上有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点其坐标满足f(xy)＝0答案D解析“坐标满足方程f(xy)＝0的点都在曲线C上”不正确即“坐标满足方程f(xy)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在有的不在”两种情况故A、C错B显然错.命题角度2曲线与方程的概念应用例2证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明①如图设M(x0y0)是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为|y0|与y轴的距离为|x0|所以|x0|·|y0|＝k即(x0y0)是方程xy＝±k的解.②设点M1的坐标(x1y1)是方程xy＝±k的解则x1y1＝±k即|x1|·|y1|＝k.而|x1||y1|正是点M1到纵轴、横轴的