高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 两个向量的数量积学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案.doc

3.1.3两个向量的数量积

1．理解空间向量夹角的概念及表示方法．
2．理解两个向量的数量积的概念．
3．会利用数量积的定义及运算律，计算两个向量的数量积及向量的模．

1．两个向量的夹角
(1)定义及表示：
已知两个______向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则角________叫做向量a与b的夹角，记作__________；
(2)范围和性质：
规定____________，显然有〈a，b〉＝〈b，a〉；
如果〈a，b〉＝90°，则称a与b互相垂直，记作________．
【做一做1】向量a，b不共线且模相等，m＝a＋b，n＝a－b，则〈m，n〉＝__________

两个向量同向时，其夹角为0；反向时，其夹角为π.
2．异面直线
(1)定义：不同在________平面内的两条直线；
(2)两条异面直线所成的角：把异面直线______一个平面内，这时两条直线的夹角(________)叫做两条异面直线所成的角；如果所成的角是______，则称两条异面直线互相垂直．
【做一做2】正四面体ABCD中，AB与CD的位置关系是()
A．平行B．垂直
C．不垂直D．不能确定

对异面直线定义的理解需注意的问题：①“不在同一平面内的两条直线”是指不在任意一个平面内的两条直线，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性．②不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．
3．向量的数量积
已知空间两个向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做两个空间向量a，b的______(或______)，记作a·b，即，a·b＝____________.
【做一做3】|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则a·b＝__________.
4．空间向量数量积的性质
(1)a·e＝|a|cos〈a，e〉(e为单位向量)；
(2)a⊥b⇔________；
(3)|a|2＝__________；
(4)|a·b|≤______.

两个向量的数量积的性质的作用：
性质(1)可以帮助我们求两个向量的夹角．
性质(2)用于判断空间两个向量是否垂直．
性质(3)主要用于计算向量的模．
性质(4)主要用于不等式的证明．
5．两个空间向量的数量积满足的运算律
(1)(λa)·b＝____________；
(2)a·b＝__________(交换律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【做一做4】下列各式中不正确的是__________．
①eq\r(a·a)＝a；
②a·b＝0⇒a＝0，或b＝0；
③|a·b|＝|a||b|；
④a·(b＋c)＝(b＋c)·a.

1．如何理解空间向量的夹角？
剖析：(1)只有两非零向量才定义夹角，求向量夹角注意把向量平移到同一起点；
(2)向量夹角的范围是[0，π]，向量同向时夹角为0，向量反向时夹角为π；
(3)注意零向量与任意向量平行，零向量与任意向量垂直．
2．如何理解异面直线？
剖析：(1)两直线不同在某一个平面不一定是异面直线，异面直线是不同在任何一个平面内，异面直线既不平行也不相交；
(2)注意异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；
(3)在空间中两直线垂直但未必相交．
3．如何理解空间向量的数量积？
剖析：(1)空间向量的数量积是平面向量数量积的推广；
(2)空间向量的数量积运算符号是“·”，不能省略，更不是“×”；
(3)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量，它有别于数乘向量；
(4)因为a·(b·c)没意义，所以空间向量的数量积不满足结合律，即a·(b·c)≠(a·b)·c；
(5)若a·b＝k，不能得出a＝eq\f(k,b)；
(6)a⊥b的充要条件是a·b＝0，这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法，同时也说明了命题“a·b＝0⇒a＝0，或b＝0”的错误性．

题型一求空间向量的夹角
【例1】如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求下列各向量的夹角：

(1)与；
(2)与.
分析：结合图形，利用空间向量的夹角定义求．
反思：求两个向量的夹角一种方法是结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义通过解三角形来求，但要注意向量夹角的范围．另一种方法是先求a·b，然后利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
题型二求空间向量的数量积
【例2】已知长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝AA′＝2，AD＝4，E为侧面AB′的中心，F为A′D′的中点，计算下列数量积：(1)·；(2)·；(3)·.
反思：求两个向量m，n的数量积一般分为两个层次：一是结合图形确定向量m