高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案 新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学学案.doc

3.1.1数系的扩充和复数的概念
学习目标：1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．(重点)2.理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)
[自主预习·探新知]
1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)

全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．
2．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.
3．复数的分类
z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(非纯虚数a≠0,纯虚数a＝0))))
思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？
[提示]
[基础自测]
1．思考辨析
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． ()
(2)复数i的实部不存在，虚部为0. ()
(3)bi是纯虚数． ()
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等． ()
[答案](1)×(2)×(3)×(4)√
2．复数i－2的虚部是()
【导学号：48662114】
A．i B．－2
C．1 D．2
C[i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为()
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
A[∵(x＋y)i＝x－1，
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x－1＝0，))∴x＝1，y＝－1.]
4．在下列数中，属于虚数的是__________，属于纯虚数的是________.
【导学号：48662115】
0,1＋i，πi，eq\r(3)＋2i，eq\f(1,3)－eq\r(3)i，eq\f(π,3)i.
1＋i，πi，eq\r(3)＋2i，eq\f(1,3)－eq\r(3)i，eq\f(π,3)iπi，eq\f(π,3)i[根据虚数的概念知：1＋i，πi，eq\r(3)＋2i，eq\f(1,3)－eq\r(3)i，eq\f(π,3)i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，eq\f(π,3)i都是纯虚数．]
[合作探究·攻重难]
复数的概念及分类(1)给出下列三个命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1虚部是2i；
③2i的实部是0.
其中真命题的个数为()
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)实数x分别取什么值时，复数z＝eq\f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？
【导学号：48662116】
(1)[解析](1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．
[答案]B
(2)①当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15＝0，,x＋3≠0，))即x＝5时，z是实数．
②当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
③当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0，,x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
[规律方法]复数分类的关键
1利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bia，b∈R时应先转化形式.
2注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bia，b∈R，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且b＝0.
[跟踪训练]
1．(1)若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________________．
(2)实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零．
(1)1或－3[由条件知a2－3＋2a＝0，
∴a＝1或a＝－3.]
(2)由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
①当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.
②当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k