高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案.doc

3.1.1数系的扩充和复数的概念学习目标：1.了解引进虚数单位i的必要性了解数集的扩充过程．(重点)2.理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)[自主预习·探新知]1．复数的概念：z＝a＋bi(ab∈R)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|ab∈R}叫做复数集．2．复数相等的充要条件设abcd都是实数那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.3．复数的分类z＝a＋bi(ab∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(非纯虚数a≠0纯虚数a＝0))))思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？[提示][基础自测]1．思考辨析(1)若ab为实数则z＝a＋bi为虚数．()(2)复数i的实部不存在虚部为0.()(3)bi是纯虚数．()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0那么这两个复数相等．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．复数i－2的虚部是()A．iB．－2C．1D．2C[i－2＝－2＋i因此虚部是1.]3．如果(x＋y)i＝x－1则实数xy的值分别为()A．x＝1y＝－1B．x＝0y＝－1C．x＝1y＝0D．x＝0y＝0A[∵(x＋y)i＝x－1∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0x－1＝0))∴x＝1y＝－1.]4．在下列数中属于虚数的是________属于纯虚数的是________.【导学号：31062191】01＋iπieq\r(3)＋2ieq\f(13)－eq\r(3)ieq\f(π3)i.[解析]根据虚数的概念知：1＋iπieq\r(3)＋2ieq\f(13)－eq\r(3)ieq\f(π3)i都是虚数；由纯虚数的概念知：πieq\f(π3)i都是纯虚数．[答案]1＋iπieq\r(3)＋2ieq\f(13)－eq\r(3)ieq\f(π3)iπieq\f(π3)i[合作探究·攻重难]复数的概念及分类实数x分别取什么值时复数z＝eq\f(x2－x－6x＋3)＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？[解]①当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15＝0x＋3≠0))即x＝5时z是实数．②当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15≠0x＋3≠0))即x≠－3且x≠5时z是虚数．③当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6x＋3)＝0x2－2x－15≠0x＋3≠0))即x＝－2或x＝3时z是纯虚数．[规律方法]复数分类的关键1利用复数的代数形式对复数进行分类关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时注意考虑问题要全面当条件不满足代数形式z＝a＋biab∈R时应先转化形式.2注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋biab∈R则①z为实数⇔b＝0②z为虚数⇔b≠0③z为纯虚数⇔a＝0b≠0④z＝0⇔a＝0且b＝0.[跟踪训练]1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数则实数a的值为________.【导学号：31062192】[解析](1)由条件知a2－3＋2a＝0∴a＝1或a＝－3.[答案]1或－32．实数k为何值时复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零．[解]由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.①当k2－5k－6＝0时z∈R即k＝6或k＝－1.②当k2－5k－6≠0时z是虚数即k≠6且k≠－1.③当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－3k－4＝0k2－5k－6≠0))时z是纯虚数解得k＝4.④当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－3k－4＝0k2－5k－6＝0))时z＝0解得k＝－1.复数的相等的充要条件[探究问题]1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小那么两个复数能比较大小吗？提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i当两个复数都是实数时可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小．2．若复数z＝a＋bi>0则实数ab满足什么条件？提示：若复数z＝a＋bi>0则实数ab