高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案 新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学学案.doc

3.1.1数系的扩充和复数的概念学习目标：1.了解引进虚数单位i的必要性了解数集的扩充过程．(重点)2.理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)[自主预习·探新知]1．复数的概念：z＝a＋bi(ab∈R)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|ab∈R}叫做复数集．2．复数相等的充要条件设abcd都是实数那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.3．复数的分类z＝a＋bi(ab∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(非纯虚数a≠0纯虚数a＝0))))思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？[提示][基础自测]1．思考辨析(1)若ab为实数则z＝a＋bi为虚数．()(2)复数i的实部不存在虚部为0.()(3)bi是纯虚数．()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0那么这两个复数相等．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．复数i－2的虚部是()【导学号：48662114】A．iB．－2C．1D．2C[i－2＝－2＋i因此虚部是1.]3．如果(x＋y)i＝x－1则实数xy的值分别为()A．x＝1y＝－1B．x＝0y＝－1C．x＝1y＝0D．x＝0y＝0A[∵(x＋y)i＝x－1∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0x－1＝0))∴x＝1y＝－1.]4．在下列数中属于虚数的是__________属于纯虚数的是________.【导学号：48662115】01＋iπieq\r(3)＋2ieq\f(13)－eq\r(3)ieq\f(π3)i.1＋iπieq\r(3)＋2ieq\f(13)－eq\r(3)ieq\f(π3)iπieq\f(π3)i[根据虚数的概念知：1＋iπieq\r(3)＋2ieq\f(13)－eq\r(3)ieq\f(π3)i都是虚数；由纯虚数的概念知：πieq\f(π3)i都是纯虚数．][合作探究·攻重难]复数的概念及分类(1)给出下列三个命题：①若z∈C则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)实数x分别取什么值时复数z＝eq\f(x2－x－6x＋3)＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？【导学号：48662116】(1)[解析](1)对于①当z∈R时z2≥0成立否则不成立如z＝iz2＝－1＜0所以①为假命题；对于②2i－1＝－1＋2i其虚部为2不是2i所以②为假命题；对于③2i＝0＋2i其实部是0所以③为真命题．[答案]B(2)①当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15＝0x＋3≠0))即x＝5时z是实数．②当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15≠0x＋3≠0))即x≠－3且x≠5时z是虚数．③当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6x＋3)＝0x2－2x－15≠0x＋3≠0))即x＝－2或x＝3时z是纯虚数．[规律方法]复数分类的关键1利用复数的代数形式对复数进行分类关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时注意考虑问题要全面当条件不满足代数形式z＝a＋biab∈R时应先转化形式.2注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋biab∈R则①z为实数⇔b＝0②z为虚数⇔b≠0③z为纯虚数⇔a＝0b≠0.④z＝0⇔a＝0且b＝0.[跟踪训练]1．(1)若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数则实数a的值为________________．(2)实数k为何值时复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零．(1)1或－3[由条件知a2－3＋2a＝0∴a＝1或a＝－3.](2)由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.①当k2－5k－6＝0时z∈R即k＝6或k＝－1.②当k2－5k－6≠0时z是虚数即k≠6且k≠－1.③当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－3k－4＝0k2－5k－6≠0))时z是纯虚数解得k＝4.④当eq\b\lc\{\rc\(