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第2讲空间点、线、面的位置关系 [做真题] 1.(2019·高考全国卷Ⅱ)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是() A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 解析:选B.若α∥β,则α内有无数条直线与β平行,反之则不成立;若α,β平行于同一条直线,则α与β可以平行也可以相交;若α,β垂直于同一个平面,则α与β可以平行也可以相交,故A,C,D中条件均不是α∥β的充要条件.根据平面与平面平行的判定定理知,若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则两平面平行,反之也成立.因此B中条件是α∥β的充要条件.故选B. 2.(2018·高考全国卷Ⅱ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为() A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(7),2) 解析:选C.如图,连接BE,因为AB∥CD,所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角,即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2,则CE=1,BC=2,由勾股定理得BE=eq\r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE,所以tan∠EAB=eq\f(BE,AB)=eq\f(\r(5),2).故选C. 3.(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则() A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC 解析:选C.由正方体的性质,得A1B1⊥BC1,B1C⊥BC1,所以BC1⊥平面A1B1CD,又A1E⊂平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1,故选C. 4.(2019·高考全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1. (1)证明:BE⊥平面EB1C1; (2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E­BB1C1C的体积. 解:(1)证明:由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE. 又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,所以BE⊥平面EB1C1. (2)由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1=45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6. 如图,作EF⊥BB1,垂足为F,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3. 所以四棱锥E­BB1C1C的体积V=eq\f(1,3)×3×6×3=18. [明考情] 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断,主要以选择、填空题的形式,题目难度中等. 2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明,并常与几何体的表面积、体积相渗透. 空间线面位置关系的判断(基础型) [知识整合] 判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断. (2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行判断. (3)借助于反证法,当从正面入手较难时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相矛盾的命题,进而作出判断. [考法全练] 1.已知α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是() A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行 解析:选D.因为α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,m⊄α,n⊂α, 所以n在平面α内,m与平面α相交, 因为A∈m,A∈α, 所以A是m和平面α相交的点, 所以m和n异面或相交,一定不平行. 2.(2019·沈阳市质量监测(一))已知m,n是空间中的两条不同的直线,α,β是空间中的两个不同的平面,则下列命题正确的是() A.若m∥n,m∥α,则n∥α B.若α∥β,m∥α,则m∥β C.若m⊥n,n⊂α,则m⊥α D.若m⊥α,m⊂β,则α⊥β 解析:选D.对于选项A,m∥n,m∥α,则n∥α或n⊂α,A错;对于选项B,α∥β,m∥α,则m∥β或m⊂β,B错;对于选项C,m⊥n,n⊂α,不能推出m⊥α,C错;对于选项D,面面垂直的判定定理,正确.故选D. 3.(2019·高考北京卷)已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断: ①l⊥m;②m∥α;③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________. 解析:其中两个论断作为条件,一个论断作为结论,可组成3个命题. 命题(1):若l⊥m,m∥α,则l⊥α,此命题不成立