高考数学总复习 专题2.8 函数与方程导学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

第八节函数与方程
最新考纲
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点
(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
3.函数f(x)＝cosx－log8x的零点个数为________．
【答案】3
【解析】由f(x)＝0得cosx＝log8x，设y＝cosx，y＝log8x，作出函数y＝cosx，y＝log8x的图象，由图象可知，函数f(x)的零点个数为3.

4.函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()
A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))
【答案】C
【解析】易知函数f(x)＝ex＋4x－3在R上为增函数，故f(x)＝ex＋4x－3至多有一个零点．∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eeq\s\up15(eq\f(1,4))＋1－3＝eeq\s\up15(eq\f(1,4))－2<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eeq\s\up15(eq\f(1,2))＋2－3＝eeq\s\up15(eq\f(1,2))－1>0，∴函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).
5.函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为()
A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,4)))
C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))
【答案】A
【解析】feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\f(π,4)＋log2eq\f(1,4)＝eq\f(π,4)－2<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(π,2)－1>0，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0，因此在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))上至少有一个零点．故选A.
6.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()
A.y＝cosx B.y＝sinx
C.y＝lnx D.y＝x2＋1
【答案】A
【解析】由函数是偶函数，排除选项B、C，又选项D中函数没有零点，排除D，y＝cosx为偶函数且有零点.
7.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．
当x>0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0.
则ex＝－x＋3.
分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．

又根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.
8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))则函数f(x)有______个零点．
【答案】1
【解析】当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝eq\f(1,2)，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数