幂函数的典型例题.pdf

经典例题透析
类型一、求函数解析式

2
例1.已知幂函数y(m2m1)xm2m3，当x(0，∞)时为减函数，则幂函数y__________．

2
解析：由于y(m2m1)xm2m3为幂函数，

所以m2m11，解得m2，或m1．

当m2时，m22m33，yx3在(0，∞)上为减函数；

当m1时，m22m30，yx01(x0)在(0，∞)上为常数函数，不合题意，舍去．

故所求幂函数为yx3．

总结升华：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键．
类型二、比较幂函数值大小
例2.比较下列各组数的大小.
4433

(1)3.143与3；(2)(2)5与(3)5.
444

解:(1)由于幂函数yx3(x>0)单调递减且3.14，∴3.1433.
3

(2)由于yx5这个幂函数是奇函数.∴f(-x)=-f(x)
33333

因此，(2)5(2)5，(3)5(3)5，而yx5(x>0)单调递减，且23，
333333

∴(2)5(3)5(2)5(3)5.即(2)5(3)5.
总结升华：
(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂
函数的单调性做出判断.
(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂
函数的单调性解决问题也是可以的.
举一反三

【变式一】比较0.80.5，0.90.5，0.90.5的大小.

思路点拨：先利用幂函数yx0.5的增减性比较0.80.5与0.90.5的大小，再根据幂函数的图象比较0.90.5与

0.90.5的大小.

解：Qyx0.5在(0，∞)上单调递增，且0.80.9，

0.80.50.90.5.

作出函数yx0.5与yx0.5在第一象限内的图象，

易知0.90.50.90.5.

故0.80.50.90.50.90.5.

1
例3.已知幂函数yxn1，yxn2，yxn3，yxn4在第一象限内的图象

分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则n1，n2，n3，n4，0，1的大小关系?
解:应为n1<n2<0<n3<1<n4.
总结升华：对于幂函数yx(R)的图象，其函数性质的正确把握主要来源
于对图象的正确处理，而幂函数的图象，最重要的是搞清第一象限的图象类型及分
布；反过来，也能通过第一象限的图象判断指数的取值范围.
举一反三
1
【变式一】（2011陕西文4）函数yx3的图像是（）
思路点拨：已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．
1111
解：取x,，则y,，选项B，D符合；取x1，则y1，选项B符合题意．
8822
类型三、求参数的范围

例4.已知幂函数yxm2(mN)的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图

象．
解：Q图象与x，y轴都无交点，m20，即m2．
又mN，m0，1，2．
Q幂函数图象关于y轴对称，
m0，或m2．

当m0时，函数为yx2，图象如图1；

当m2时，函数为yx01(x0)，图象如图2．

举一反三
22
【变式一】若a132a，求实数a的取值范围.
22
解法1：∵a132a，考察yx2的图象，得以下四种可能情况:
32a032a032a032a0

(1)a10(2)a10(3)a10(4)1a0

32aa132aa132a(a1)(32a)a1
2
分别解得:(1)1a.(2)无解.(3)a1.(4)a4.
3
2
∴a的取值范围是，，，1U1U4.
3
解法2：画出yx2的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越
小，y值越大，
a102
，，，UU.
22114
∴要使a132a，即32a0，解得:3
总结升华：|a1||32a|
以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，
必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途
径.
2
【变式二】当m为何值时，幂函数y=(m2-5m+6)xm2m3的图象同时通过点(0，0)和(1，1).

255
解:∵