2022幂函数的典型例题.docx

经典例题透析
范例一、求函数剖析式
例1.已经知道幂函数y(mm1)xm2
2
2m3
，当
x(0，∞)时为减函数，那么幂函数y__________．
剖析：因为y(mm1)xm2
2
2m3
为幂函数，
2
因而mm11，解得m2，或
m
1．
2
当m2时，m2m3
，在
3yx3(0，∞)上为减函数；
2
0
当m
1时，m2m30yx1(x0)(0，∞)上为常数函数，分歧题意，舍去．
，
在
故所求幂函数为yx3
．
总结升华：求幂函数的剖析式，普通用待定系数法，弄清楚幂函数的界说是要害．
范例二、比拟幂函数值巨细
例2.比拟以下各组数的巨细.
4
3
4
3
3
5
3
5
(1)3.14
与
；(2)(2)
(3)
与
.
4
4
3
4
3
解:(1)因为幂函数
yx
3
(x>0)枯燥递加且3.14
，∴3.14
.
3
(2)因为yx
5
那个幂函数是奇函数.∴f(-x)=-f(x)
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
因而，
(2)
(2)
，(3)
(3)
，而yx
(x>0)枯燥递加，且2
3，
3
3
5
3
3
3
3
∴(2)
5
(3)
(2)
5
(3)
5
.即(2)
5
(3)
5
.
总结升华：
(1)各题中的两个数基本上“同指数”的幂，因而可看作是统一个幂函数的两个差别的函数值，从而可根
据幂函数的枯燥性做出推断
.
(2)题(2)中，咱们是应用幂函数的奇偶性，先把底数化为负数的幂处理的咨询题
.所以，假设直截了当应用
x<0
上幂函数的枯燥性处理咨询题也是能够的
触类旁通
.
【变式一】比拟0.80.50.90.50.90.5的巨细.
，
，
思绪点拨：先应用幂函数yx0.5
0.90.5的巨细.
与
0.80.50.90.5
0.90.5
与
的增减性比拟
的巨细，再依照幂函数的图象比拟
解：yx0.5(0，∞)上枯燥递增，且0.80.9，
在
0.80.50.90.5
.
作出函数yx0.5yx0.5
与
在第一象限内的图象，

易知0.90.50.90.5
.
故0.80.50.90.50.90.5
.
yxn
yxn
yxn
yxn
，在第一象限内的图象
4
例3.已经知道幂函数
1
2
3
，
，
分不是C，C，C，C，(如图)，那么n，n，n，n，0，1的巨细关联
1
2
3
4
1
2
3
4
解:应为n<n<0<n<1<n4.
1
2
3
总结升华：对于幂函数yx(
R)的图象，其函数性子的准确控制要紧起源
于对图象的准确处理，而幂函数的图象，最主要的是搞清第一象限的图象范例及散布；
反过去，也能经过第一象限的图象推断指数的取值范畴
.
触类旁通
1
【变式一】（2011陕西文4）函数
yx
3
的图像是（
）
思绪点拨：已经知道函数剖析式跟图像，能够用取点验证的办法推断．
11
,
88
11
,
22
解：取x
y
B，D契合；取
x1，那么y1，选项B契合题意．
，那么
，选项
范例三、求参数的范畴
m2
例4.已经知道幂函数yx(mN)的图象与x，y轴都无交点，且对于y轴对称，求m的值，并画出它
的图象．
解：
图象与x，y轴都无交点，
m20，即m2．
又mN，m0，1，2．
幂函数图象对于y轴对称，
m0，或m2．
当m0时，函数为yx2
，图象如图
1；
0
当m2时，函数为yx1(x0)，图象如图2．
触类旁通

2
2
，务实数
【变式一】假设a1
32a
a的取值范畴
.
2
2
yx2
解法1：∵a1
32a
，调查
的图象，得以下四种能够状况
:
32a0
32a0
(2)a10
32aa1
32a0
32a0
(1)a10
(3)a10
32a
(4)1a0
32aa1
(a1)
(32a)a1
2
3
分不解得:(1)1a
.(3)a
1.(4)a4.
.(2)
无解
2
∴a的取值范畴是
，1
1，
4，
.
3
解法2：画出yx2
越小，y值越年夜，
的图象，仔细不雅看图象，可得越濒临轴，值越年夜，即|x|
:
y
y
a10
2
2
∴
要使a1
32a
32a0
，
解
，
即
|a1||32a|
2
得:
，1
1，
4，
.
3
总结升华：
以上两种办法基本上应用函数的枯燥性，但显然第二种办法更好
.而这种办法的应用，必需对图象的特点
有深入的看法.可见，能非常好地应用数形联合是处理函数咨询题的主要道路
.
【变式二】当m为何值时，幂函数y=(m-5m+6)xm2
2
2m3
的图象同时经过点
(0，0)跟(1，1).
解:∵y=(m-5m+6)xm2
.m-5m+6=1.得:m=55，
2
2m3
2
是幂函数∴
2
2
又∵函数图象过(0，0)跟(1，1)点，∴m-2m-3>0，得m>3或m<-1，
5
5(舍去