2020-2021学年天津市河北区高一(下)期中数学试卷.pdf

2020-2021学年天津市河北区高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.下列结论中，正确的是()

A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B.若向量⃗𝑎与𝑏⃗都是单位向量，则𝑎⃗=𝑏⃗

C.若向量⃗𝑎与𝑏⃗是平行向量，则⃗𝑎与𝑏⃗的方向相同

D.若两个向量相等，则它们的模相等

2.已知向量⃗𝑎=(2,4)，𝑏⃗=(−1,1)，则2𝑎⃗−𝑏⃗=()

A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)

3.i是虚数单位，复数2𝑖=()
𝑖−1

A.1+𝑖B.1−𝑖C.−1+𝑖D.−1−𝑖

4.如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，D为AB的中点，则𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=()

A.𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−1𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
2

B.−𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+1𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
2

C.−𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−1𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
2

D.𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+1𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
2
5.下面给出的命题中，正确的个数是()

①一个棱柱至少有5个面

②平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形

③正棱锥的侧面是全等的等腰三角形

④有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

A.1B.2C.3D.4

6.用斜二测画法画水平放置的△𝐴𝐵𝐶的直观图△𝐴′𝐵′𝐶′如图所示，则在△𝐴𝐵𝐶的三边及中线AD中，最长

的线段是()

，
A.ABB.ADC.BCD.AC

7.棱长为a的正四面体的表面积为()

A.√3𝑎2B.√3𝑎2C.√3𝑎2D.√3𝑎2
1284

8.已知△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若𝑎=√2，𝑏=2，𝐴=𝜋，则满足条件的△𝐴𝐵𝐶()
6

A.无解B.有一个解C.有两个解D.不能确定

9.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑏，则△𝐴𝐵𝐶的形状是()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

10.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得

∠𝐴𝐶𝐵=75°，∠𝐵𝐶𝐷=45°，∠𝐴𝐷𝐶=30°，∠𝐴𝐷𝐵=45°(𝐴,B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B

间的距离为()𝑘𝑚．

A.8√5B.4√15C.2√15D.2√5
333
二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.已知i是虚数单位，则复数1+2𝑖在复平面内对应的点的坐标为______．

12.已知向量⃗𝑎=(1,−2)，𝑏⃗=(2,𝜆)，若𝑎⃗⊥𝑏⃗，则实数𝜆的值为______．

13.已知|⃗𝑎|=6，𝑒⃗为单位向量，若向量𝑎⃗与𝑒⃗的夹角为135°，则向量𝑎⃗在𝑒⃗上的投影向量为______．

14.长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴𝐵𝐶𝐷中，，，=3，则三棱锥𝐷−𝐴𝐵𝐶的体积为______．
1111𝐴𝐵=1𝐴𝐷=2𝐴𝐴11
15.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=1，𝐴𝐶=2，(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2，则角A的大小为______．

三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）

，
16.已知向量|⃗𝑎|=3，|𝑏⃗|=2，𝑎⃗与𝑏⃗的夹角为𝜋．
3

(Ⅰ)求𝑎⃗⋅𝑏⃗及|𝑎⃗+𝑏⃗|；

(Ⅱ)求(𝑎⃗+2𝑏⃗)⋅(𝑎⃗−3𝑏⃗).

17.已知复数𝑧=(𝑚2−𝑚)+(𝑚−1)𝑖(𝑚∈𝑅)．

(1)若z为实数，求m值；

(2)若z为纯虚数，求m值；

(3)若复数z对应的点在第一象限，求m的范围．

18.已知△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且𝑎=2，𝑐𝑜𝑠𝐵=3．
5
(Ⅰ)若𝑏=4，求sinA的值及△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径；

(Ⅱ)若△𝐴𝐵𝐶的面积为4，求b和c的值．

，

19.已知△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量⃗𝑚⃗⃗=(𝑐𝑜𝑠𝐴,𝑠𝑖𝑛𝐵)，⃗𝑛=(𝑎,√3𝑏)，且⃗𝑚⃗⃗//𝑛⃗．

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)若𝑎=√7，𝑏=2，求边c和△𝐴𝐵𝐶的面积．

，
答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：对于A，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定完全相同，∴A

错误；

对于B，⃗𝑎与𝑏⃗都是单位向量，则|𝑎⃗|=|𝑏⃗|，但⃗𝑎与𝑏⃗不一定相等，∴B错误；

对于C，两个平行向量，可能是同向向量，也可能是反向向量，∴C错误；

对于D，两个向量相等，则它们的模相等，D正确．

故选：D．

根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．

本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．

2.【答案】A

【解