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2015年秋期高中二年级期终质量评估 数学试题(文)参考答案 一、选择题 1.A2.B3.D4.C5.A6.C7.A8.D9.B10.D11.A12.C 二、填空题 13.714.115.16. 三、解答题 17.解析:(1)设等差数列的公差为d,则 因为,所以. 解得,.…………………………………………………………………4分 所以的通项公式为.……………………………………………………5分 (2),…………………………………………………7分 所以.……………………………10分 18.解析:(1)由已知条件得cos2A+3cosA=1,∴2cos2A+3cosA-2=0,………4分 解之得cosA=eq\f(1,2)(cosA=-2舍去),由得A=60°, ∴角A的大小为60°.…………………………………………………………………6分 (2)由面积公式S=eq\f(1,2)bcsinA=5eq\r(3),及b=5得c=4.………………………………8分 根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得a2=21. 又因为正弦定理中eq\f(a,sinA)=2R,所以(2R)2=eq\f(a2,sin2A)=28.………………………………10分 由正弦定理可得sinB=eq\f(b,2R),sinC=eq\f(c,2R), ∴sinBsinC=eq\f(bc,4R2)=eq\f(5,7). ∴sinBsinC的值为eq\f(5,7).…………………………………………………………………12分 19.解析:(1)若a=1,则f(x)=3x-2x2+lnx,该函数的定义域为(0,+∞), f′(x)=eq\f(1,x)-4x+3=eq\f(-4x2+3x+1,x)=eq\f(-4x+1x-1,x)(x>0).………………2分 当x∈(0,1),f′(x)>0时,函数f(x)=3x-2x2+lnx单调递增. 当x∈(1,+∞),f′(x)<0时,函数f(x)=3x-2x2+lnx单调递减. 故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).……………6分 (2)f′(x)=eq\f(3,a)-4x+eq\f(1,x),若函数f(x)在区间[2,4]上为单调递增函数, 即在区间[2,4]上,f′(x)=eq\f(3,a)-4x+eq\f(1,x)≥0, 即eq\f(3,a)-4x+eq\f(1,x)≥0在[2,4]上恒成立.…………………………………………………8分 即eq\f(3,a)≥4x-eq\f(1,x). 令h(x)=4x-eq\f(1,x),因为函数h(x)在[2,4]上单调递增, 所以,即eq\f(3,a)≥,…………………………………………10分 解之得, 实数的取值范围为.…………………………………………12分 20.解析:(1)∵F(1,0),∴直线l的方程为y=2(x-1),…………………………1分 设A(x1,y1),B(x2,y2),由 得x2-3x+1=0,…………………………………………………………………3分 ∴x1+x2=3,x1x2=1.……………………………………………………………4分 ∴|AB|=eq\r(x2-x12+y2-y12) =·eq\r(x1+x22-4x1x2)=·=5. ∴|AB|的大小为5……………………………………………………………………6分 (2)证明:设直线l的方程为x=my+1, 由得y2-4my-4=0. ∴y1+y2=4m,y1y2=-4,………………………………………………………10分 eq\o(OA,\s\up6(→))=(x1,y1),eq\o(OB,\s\up6(→))=(x2,y2). ∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=x1x2+y1y2 =(my1+1)(my2+1)+y1y2 =m2y1y2+m(y1+y2)+1+y1y2 =-4m2+4m2+1-4 =-3. ∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))是一个定值.……………………………………………………………12分 21.解析:(1)f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a. 曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2. 由题设得-eq\f(2,a)=-1,所以a=2…………………………………………………4分 (2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+2x+2. 设g(x)=f(x