高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值教师用书 理 新人教版-新人教版高三全册数学试题.doc

第三章导数及其应用第2讲导数的应用第2课时利用导数研究函数的极值、最值教师用书理新人教版
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一、选择题
1.(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()
A.－4 B.－2 C.4 D.2
解析f′(x)＝3x2－12，∴x<－2时，f′(x)>0，－2<x<2时，f′(x)<0，x>2时，
f′(x)>0，∴x＝2是f(x)的极小值点.
答案D
2.函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的最小值为()
A.eq\f(1,2) B.1 C.0 D.不存在
解析f′(x)＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x2－1,x)，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝eq\f(1,2)－ln1＝eq\f(1,2).
答案A
3.(2017·合肥模拟)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于()
A.eq\f(2,3) B.eq\f(4,3)
C.eq\f(8,3) D.eq\f(16,3)
解析由图象可知f(x)的图象过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(2,3)，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).
答案C
4.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为()
A.3 B.4 C.6 D.5
解析设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴l＝eq\f(27,R2)，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小.
由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·eq\f(27,R).
∴S′＝2πR－eq\f(54π,R2)，令S′＝0，得R＝3，则当R＝3时，S最小.故选A.
答案A
5.(2017·东北四校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()
A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C.(－3，6) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根.
∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0，
∴a>6或a<－3.
答案B
二、填空题
6.(2017·肇庆模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________.
解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.
依题意知，－3是方程f′(x)＝0的根，
所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.
经检验，a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值.
答案5
7.(2016·北京卷改编)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3－3x，x≤0，,－2x，x>0，))则f(x)的最大值为________.
解析当x>0时，f(x)＝－2x<0；
当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数.
∴f(x)≤f(－1)＝2，∴f(x)的最大值为2.
答案2
8.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________.
解析∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
答案(－∞，－1)
三、解答题
9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝eq\f(ax,（x＋r）2)(a>0，r>0).
(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
(2)若eq\f(a,r)＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值.
解(1)由题意可知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞).
f(x)＝eq\f(ax,（x＋r）2)＝eq\f(ax,x2＋2rx＋r2)，
f′(x)＝eq\f(a（x2＋2rx＋r2）－ax（2