高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用（第2课时）利用导数研究函数的极值、最值讲义 理（含解析）-人教版高三全册数学教案.doc

第2课时利用导数研究函数的极值、最值1.函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值eq\o(□\s\up5(01))都小f′(a)＝0而且在点x＝a附近的左侧eq\o(□\s\up5(02))f′(x)<0右侧eq\o(□\s\up5(03))f′(x)>0则点a叫做函数的极小值点f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值eq\o(□\s\up5(04))都大f′(b)＝0而且在点x＝b附近的左侧eq\o(□\s\up5(05))f′(x)>0右侧eq\o(□\s\up5(06))f′(x)<0则点b叫做函数的极大值点f(b)叫做函数的极大值．2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[ab]上有最值的条件如果在区间[ab]上函数y＝f(x)的图象是一条eq\o(□\s\up5(01))连续不断的曲线那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[ab]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(ab)内的eq\o(□\s\up5(02))极值；②将函数y＝f(x)的各极值与eq\o(□\s\up5(03))端点处的函数值f(a)f(b)比较其中最大的一个是最大值最小的一个是最小值．1.概念辨析(1)对可导函数f(x)f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(2)函数的极大值一定大于其极小值．()(3)若函数f(x)在区间D上具有单调性则f(x)在区间D上不存在极值．()(4)函数的最大值不一定是极大值函数的最小值也不一定是极小值．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.小题热身(1)设函数f(x)＝eq\f(2x)＋lnx则()A.x＝eq\f(12)为f(x)的极大值点B.x＝eq\f(12)为f(x)的极小值点C.x＝2为f(x)的极大值点D.x＝2为f(x)的极小值点答案D解析f(x)＝eq\f(2x)＋lnxf′(x)＝－eq\f(2x2)＋eq\f(1x)＝eq\f(x－2x2)当x>2时f′(x)>0此时f(x)为增函数；当0<x<2时f′(x)<0此时f(x)为减函数据此知x＝2为f(x)的极小值点．(2)函数y＝2x3－2x2在区间[－12]上的最大值是________．答案8解析y′＝6x2－4x＝2x(3x－2)由y′＝0解得x＝0或x＝eq\f(23).∵f(－1)＝－4f(0)＝0feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23)))＝－eq\f(827)f(2)＝8∴最大值为8.(3)若f(x)＝ax3＋3x＋2无极值则a的范围是________．答案[0＋∞)解析f′(x)＝3ax2＋3当a≥0时f′(x)>0f(x)在R上单调递增f(x)无极值．当a<0时由f′(x)＝0得x＝±eq\r(－\f(1a)).易知－eq\r(－\f(1a))和eq\r(－\f(1a))分别是f(x)的极小值点和极大值点．综上知a的范围是[0＋∞).题型eq\a\vs4\al(一)用导数求解函数极值问题角度1根据函数图象判断极值1．已知函数f(x)的定义域为(ab)导函数f′(x)在(ab)上的图象如图所示则函数f(x)在(ab)上的极大值点的个数为()A.1B．2C．3D．4答案B解析极大值点处导数值为0且两侧导数符号左正右负观察导函数f′(x)在(ab)上的图象可知f(x)在(ab)上的极大值点有2个.角度2求函数的极值2.(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点则f(x)的极小值为()A.－1B．－2e－3C.5e－3D．1答案A解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．由ex－1>0恒成立得x＝－2或x＝1时f′(x)＝0且x<－2时f′(x)>0；－2<x<1时f′(x)<0；x>1时f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小