新（全国甲卷）高考数学大二轮总复习与增分策略 专题八 系列4选讲 第1讲 坐标系与参数方程练习 理-人教版高三全册数学试题.doc

第1讲坐标系与参数方程

1．(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|＝eq\r(10)，求l的斜率．
解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝eq\r(ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2)
＝eq\r(144cos2α－44).
由|AB|＝eq\r(10)，得cos2α＝eq\f(3,8)，tanα＝±eq\f(\r(15),3).
所以l的斜率为eq\f(\r(15),3)或－eq\f(\r(15),3).
2．(2015·江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2eq\r(2)ρ·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－4＝0，求圆C的半径．
解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为
ρ2＋2eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinθ－\f(\r(2),2)cosθ))－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆C的半径为eq\r(6).

高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.

热点一极坐标与直角坐标的互化

直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，

设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2,tanθ＝\f(y,x)x≠0)).
例1在极坐标系中，曲线C1：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，求a的值．
解ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1，
即eq\r(2)ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的普通方程为
eq\r(2)x＋y－1＝0，
ρ＝a(a>0)对应的普通方程为
x2＋y2＝a2.
在eq\r(2)x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝eq\f(\r(2),2).
将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))代入x2＋y2＝a2得a＝eq\f(\r(2),2).
思维升华(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
跟踪演练1在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ＋eq\f(π,4))＝3eq\r(2)和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长．
解∵ρcos(θ＋eq\f(π,4))＝ρcosθcoseq\f(π,4)－ρsinθsineq\f(π,4)
＝eq\f(\r(2),2)ρcosθ－eq\f(\r(2),2)ρsinθ＝3eq\r(2)，
∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.
又∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ.
∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.
解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝6,y2＝8x))，
得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\a