高考数学总复习：函数的应用.doc

高考数学总复习：函数的应用
知识网络目标认知考试大纲要求：1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.了解函数在一点处的导数的定义和掌握导数的几何意义；3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；5.了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数；6.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；7.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；8．提高应用知识解决实际问题的能力。重点：利用导数判断函数单调性；函数极值与最值的区别与联系。会求一些函数的(极)最大值与(极)最小值难点：利用导数判断函数单调性时有关字母讨论的问题；有关函数最值的实际应用问题的学习。知识要点梳理知识点一：导数的相关概念1、导数的物理意义：事物的瞬时变化率，如：表示运动物体在时刻的瞬时速度；气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等.2、导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是，切线方程为。知识点二：导数的运算1、几种常见函数的导数公式：①；②(a∈Q)；③；④；⑤⑥⑦⑧2、导数的四则运算法则：①；②；③知识点三：导数的应用1、求切线方程的一般方法，可分两步：（1）求出函数在处的导数；（2）利用直线的点斜式得切线方程。注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.2、判定函数的单调性（1）函数的单调性与其导数的关系设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x)在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。注意：①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。③要关注导函数图象与原函数图象间关系。（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数；(3)在定义域内解不等式；(4)确定f(x)的单调区间。3、求函数的极值与最值（1）极值的概念一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)＜f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；(2)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)＞f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作y极小值=f(x0)。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。注意：①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。（2）求极值的步骤①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。(最好通过列表法)4、求函数的最值函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。（1）最值与极值的区别与联系：①函数最