高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及应用举例分层演练 文-人教版高三全册数学试题.doc

第3讲平面向量的数量积及应用举例

1．已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为eq\f(π,6)，则实数m＝()
A．2eq\r(3) B．eq\r(3)
C．0 D．－eq\r(3)
解析：选B．因为a·b＝(1，eq\r(3))·(3，m)＝3＋eq\r(3)m，
又a·b＝eq\r(12＋(\r(3))2)×eq\r(32＋m2)×coseq\f(π,6)，
所以3＋eq\r(3)m＝eq\r(12＋(\r(3))2)×eq\r(32＋m2)×coseq\f(π,6)，所以m＝eq\r(3).
2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|＝()
A．3 B．2
C．eq\r(13) D．eq\r(7)
解析：选D.(a－3b)2＝|a|2－6a·b＋9|b|2＝1－6cos60°＋9＝7，所以|a－3b|＝eq\r(7)，故选D.
3．设单位向量e1，e2的夹角为eq\f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为()
A．－eq\f(3\r(3),2) B．－eq\r(3)
C．eq\r(3) D．eq\f(3\r(3),2)
解析：选A．依题意得e1·e2＝1×1×coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，
|a|＝eq\r((e1＋2e2)2)＝eq\r(eeq\o\al(2,1)＋4eeq\o\al(2,2)＋4e1·e2)＝eq\r(3)，
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2eeq\o\al(2,1)－6eeq\o\al(2,2)＋e1·e2＝
－eq\f(9,2)，因此b在a方向上的投影为eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(－\f(9,2),\r(3))＝－eq\f(3\r(3),2)，故选A．
4．(2019·郑州质量预测)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝eq\r(3)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，点F在边CD上．若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝3，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值为()
A．0 B．eq\f(8\r(3),3)
C．－4 D．4
解析：选C．eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))⇒|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\f(2\r(3),3).设eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AF,\s\up6(→))的夹角为α，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝3⇒|eq\o(AF,\s\up6(→))|cosα＝1⇒|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝1.以A为坐标原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则B(0，3)，F(eq\r(3)，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，3)).因此eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－2)，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(2\r(3),3)×eq\r(3)－2×3＝2－6＝－4，故选C．
5．如图，AB是半圆O的直径，P是eq\o(AB,\s\up8(︵))上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))等于()

A．13 B．7
C．5 D．3
解析：选C．连接AP，BP，则eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(