高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第8讲 函数与方程分层演练 文-人教版高三全册数学试题.doc

第8讲函数与方程

1．已知函数f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，则f(x)的零点所在的区间是()
A．(0，1) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，＋∞)
解析：选C．易知f(x)是单调函数，f(3)＝2－log23>0，
f(4)＝eq\f(3,2)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)<0，
故f(x)的零点所在的区间是(3，4)．
2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－cosx，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．作出g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)与h(x)＝cosx的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C．

3．已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：选B．因为a>1，0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(x)为增函数，f(－1)＝eq\f(1,a)－1－b<0，f(0)＝1－b>0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．
4．函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
解析：选C．因为函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0<a<3.
5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x>0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1，0) D．[－1，0)
解析：选D.当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝eq\f(1,3)，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0，1]，所以－a∈(0，1]，
即a∈[－1，0)，故选D.
6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2，x>0，,－x2＋bx＋c，x≤0，))若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．
解析：依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝－2，,－1－b＋c＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4，,c＝－2.))
令g(x)＝0，得f(x)＋x＝0，
该方程等价于①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,－2＋x＝0，))或②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,－x2－4x－2＋x＝0，))
解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2，
因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.
答案：3
7．方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围为________．
解析：令函数f(x)＝2x＋3x－k，
则f(x)在R上是增函数．
当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，
f(1)·f(2)<0，
即(5－k)(10－k)<0，
解得5<k<10.
当f(1)＝0时，k＝5.
答案：[5，10)
8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，g(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))x，记函数h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g(x)，f(x)≤g(x)，,f(x)，f(x)>g(x)，))则函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为________．
解析：由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线y＝x对称，函数F(x)所有零点的和就是函数y＝h(x)与函数y＝5－x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线y＝x对称，所以eq\f(x1＋x2,2)＝5－eq\f(x1＋x2,2)，所以x1＋x2＝5.

答案