高中数学第一轮总复习 第八章 8.5 轨迹问题教案 新人教A版.doc

PAGE-5-
用心爱心专心

8.5轨迹问题
巩固·夯实基础
一、自主梳理
1.曲线与方程的关系
曲线C
方程f(x,y)=0.
2.求轨迹方程的基本方法
①直接求；②代入(相关点)法；③参数法；④定义法；⑤待定系数法.
二、点击双基
1.动点P到直线x=1的距离与它到点A(4，0)的距离之比为2，则P点的轨迹是…()
A.中心在原点的椭圆B.中心在(5，0)的椭圆
C.中心在原点的双曲线D.中心在(5，0)的双曲线
答案：B
2.若动圆与圆(x+2)2+y2=4外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是()
A.y2+8x=0B.y2-8x=0C.y2-12x+12=0D.y2+12x-12=0
解析：定义法.动圆圆心到定圆圆心(-2,0)与到直线x=4的距离相等(都是动圆的半径)，∴p=6.
∴y2=12(x-1),即选C.
答案：C
3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，两点A(3,1)、B(-1,3)，若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为()
A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-1)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0
解析：直接代入法.设C(x,y),
∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3).
∴利用α+β=1,消去α、β得x+2y=5.
答案：D
4.F1、F2为椭圆+=1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________________________________.
解析：延长F1D与F2A交于B，连结DO，可知DO=F2B=2，∴动点D的轨迹方程为x2+y2=4.
答案：x2+y2=4
5.已知A(0，7)、B(0，-7)、C(12，2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是（）
A.y2-=1（y≤-1）B.y2-=1C.y2-=-1D.x2-=1
解析：由题意｜AC｜=13，｜BC｜=15，|AB|=14，
又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
∴｜AF｜-｜BF｜=｜BC｜-｜AC｜=2.
故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.
又c=7,a=1,b2=48,
所以轨迹方程为y2-=1(y≤-1).
答案：A
诱思·实例点拨
【例1】求过点(0，2)的直线被椭圆x2+2y2=2所截弦的中点的轨迹方程.
解：设直线方程为y=kx+2,
把它代入x2+2y2=2,
整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0.
要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k＜-或k＞.
设直线与椭圆两个交点为A(x1，y1)、B（x2，y2），中点坐标为C(x,y)，则
x==-,y=-=.
从参数方程(k＜-或k＞),消去k得x2+2（y-1）2=2,
且｜x｜＜，0＜y＜．
【例2】在△PMN中，tan∠PMN=,tan∠MNP=-2,且△PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程.

剖析：如下图，以直线MN为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则所求椭圆方程为+=1.显然a2、b2是未知数，但a2、b2与已知条件没有直接联系，因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件.
解法一：如下图，过P作PQ⊥MN，垂足为Q，

令|PQ|=m,于是可得
|MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m,
|QN|=|PQ|cot∠PNQ=m.
∴|MN|=|MQ|-|NQ|=2m-m=m.
于是S△PMN=|MN|·|PQ|=·m·m=1.
因而m=,|MQ|=2,|NQ|=,|MN|=.
|MP|=
=
=,
|NP|=
=
=.
以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为+=1(a＞b＞0).
则2a=|MP|+|NP|=,
2c=|MN|=,
故所求椭圆方程为+=1.
解法二：设M(-c,0)、N(c,0),P(x,y),y＞0,
则
解之，得x=,y=,c=.
设椭圆方程为b2x2+a2y2=a2b2,则

解之，得a2=,b2=3.
（以下略）
讲评：解法一选择了与a较接近的未知元|PM|、|PN|，但需改造已知条件，以便利用正弦定理和面积公式；解法二以条件为主，选择了与条件联系最直接的未知元x、y、c.本题解法较多，但最能体现方程思想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法.
链接·拓展
若把△PMN的面积为1改为·=,求椭圆方程.
提示：由tan∠PMN=,tan∠MNP=-2,易得sin∠MPN=,cos∠MPN=.
由·=,得||||=.
易求得|PM|=,|PN|=.
进而求得椭圆方程为+=1.
【例3】（2005江苏高考）如图,圆O1与圆O2的