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平面向量基本定理
【知识与技能】
1.了解平面向量基本定理及基底的概念；
2.掌握用指定的两个不共线的向量来表示平面里的任何一个向量的方法，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
【过程与方法】
对于给定的任意一个向量和不共线的的两个向量，，先将和，平移，使它们的起点相同为A，再过的终点B以、所在直线为边作平行四边形，看看以A为起点、另两个交点为终点的向量是、如何伸缩得到，这样，就可以用不共线的的两个向量，来表示.这是平面向量基本定理的一层意义，也是如何用基底表示平面向量的基本方法.学习时还对其表示方法的唯一性加以证明，但不作硬性要求.
一．教学目标
1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；
2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示．
二．教学重点：平面向量基本定理
三．教学难点：理解平面向量基本定理．
四．教学过程
㈠设置情境
上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．
引例：如图所示，在平行四边形中，是中点，点是上一点，求证、、三点共线．
设，则

又，∴∴、、共线．
㈡探索研究
问：向量与非零向量共线的充要条件是什么？
答：有且仅有一个实数，使得
问：如何作出向量？
答：在平面上任取一点，作，，则
我们知道向量是向量与的合成，、也可以看做是由向量的分解，是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢？
⒈平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
说明：①实数，的确定是由平面几何作图得到的，同时也应用了上节课的共线向量基本定理．
②对该定理重在使用．
㈢例题讲解：
【例1】已知向量、，求作．
【例2】如图所示，的两条对角线相交于点，且，，用、表示、、和？
解：在中
∵

∴

说明：①这些表示方法很常用，要熟记
②用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是、，由它可以“生”成，，……．
【例3】如图所示、不共线，（），用，表示．
解∵
∴

说明：①本题是个重要题型：设为平面上任一点．
则：、、三点共线
或令，则、、三点共线（其中）
②当时，常称为△的中线公式（向量式）．
3．演练反馈
（1）命题：向量与共线；命题：有且只有一个实数，使；则是的（B）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．不充分不必要条件
（2）已知和不共线，若与共线，则实数的值等于±1_____．
（3）如图△中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值．
解：（如图）设，，
则，
，∵、、和、、分别共线，∴存在、，使，．
故，而．
∴由基本定理得∴∴，即
4．总结提炼
（1）当平面内取定一组基底，后，任一向量都被、惟一确定，其含义是存在惟一这数对，使，则必有且．
（2）三点、、共线（其中且）
五．板书设计
【补充例题】
DC
M
b
AaB
例1如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和
解：在ABCD中
∵=+=+
==
∴==(+)=，==()=
==+，===+
DC
M
b
AaB
例2已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，
求证：+++=4
证：∵E是对角线AC和BD的交点
∴==，==
在△OAE中+=，同理：+=
+=，+=以上各式相加，得：+++=4
例3如图，，不共线，=t(tR)用，表示
P
B
OA
解：∵=t，∴=+=+t=+t()
=+tt=(1t)+t