高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数 4.4.2 对数函数的图象和性质 第2课时 对数函数性质的应用教学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教学案.doc

第2课时对数函数性质的应用
(教师独具内容)
课程标准：了解并掌握对数函数的图象、性质及单调性．知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．
教学重点：对数函数的单调性及应用．
教学难点：对数函数性质的综合应用.

【知识导学】
知识点一对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的性质
(1)定义域：eq\o(□,\s\up1(01))(0，＋∞)．
(2)值域：eq\o(□,\s\up1(02))(－∞，＋∞)．
(3)定点：eq\o(□,\s\up1(03))(1,0)．
(4)单调性：a>1时，在(0，＋∞)上是eq\o(□,\s\up1(04))增函数；0<a<1时，在(0，＋∞)上是eq\o(□,\s\up1(05))减函数．
(5)函数值变化
当a>1，x>1时，y∈eq\o(□,\s\up1(06))(0，＋∞)，
0<x<1时，y∈eq\o(□,\s\up1(07))(－∞，0)；
当0<a<1，x>1时，y∈eq\o(□,\s\up1(08))(－∞，0)，
0<x<1时，y∈eq\o(□,\s\up1(09))(0，＋∞)．
(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解．
知识点二反函数的概念
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为eq\o(□,\s\up1(01))反函数，它们的图象关于直线eq\o(□,\s\up1(02))y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的eq\o(□,\s\up1(03))值域，而y＝logax的值域是y＝ax的eq\o(□,\s\up1(04))定义域．
【新知拓展】
(1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．互为反函数的两个函数的定义域、值域的关系如下表所示：

(2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性．
(3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
(4)求反函数的步骤：
①求出函数y＝f(x)的值域；
②由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；
③把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．
(5)如何解以下三类不等式：①形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论．
②形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
③形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．()
(2)函数y＝logax的图象与y＝ax的图象关于直线y＝x对称．()
(3)函数y＝logax的图象过定点(1,0)．()
答案(1)×(2)√(3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,32)))＝________.
(2)函数y＝2loga(x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．
(3)已知logaeq\f(3,4)<loga1，则a的取值范围为________．
答案(1)－5(2)(2,0)(3)(1，＋∞)

题型一对数函数单调性的应用
例1(1)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围；
(2)已知logaeq\f(1,2)>1，求a的取值范围；
(3)求函数y＝logeq\s\do8(\f(1,2))(1－x2)的单调递增区间．
[解](1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.7(2x)<log0.7(x－1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>0，,x－1>0，,2x>x－1，))
解得x>1.∴x的取值范围为(1，＋∞)．
(2)由logaeq\f(1,2)>1，得logaeq\f(1,2)>logaA．
①当a>1时，有a<eq\f(1,2)，此时无解．
②当0<a<1时，有eq\f(1,2)<a，所以eq\f(1,2)<a<1.
∴a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).
(3)要使函数有意义，则有1－x2>0⇔x2<1⇔－1<x<1.
∴函数的定义域为(－1,1)．
令t＝1－x2，