高中数学 第2章 数列 2.3.1 等比数列的概念学案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学学案.doc

2．3.1等比数列的概念
1.理解等比数列的概念．2.理解等比中项的概念．3.能够利用等比数列的定义去解决一些问题．
,[学生用书P29])

1．等比数列的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．
(2)表达式：eq\f(an＋1,an)＝q(q为常数，q≠0)．
2．等比中项
如果a，G，b这三个数成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，G＝±eq\r(ab)．
3．等比数列的判定方法
(1)定义法：对于数列{an}，若eq\f(an＋1,an)＝q(q为常数，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(2)等比中项法：对于数列{an}，若anan＋2＝aeq\o\al(2,n＋1)(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．()
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．()
(3)常数列一定为等比数列．()
(4)任何两个数都有等比中项．()
解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．
(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．
(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．
(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
答案：(1)×(2)×(3)×(4)×
2．下列数列为等比数列的序号是________．
①2，22，3×22；②eq\f(1,a)，eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)，eq\f(1,a4)，eq\f(1,a5)(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0，0，0，0，0.
解析：eq\f(22,2)≠eq\f(3×22,22)，所以①不是等比数列；②是首项为eq\f(1,a)，公比为eq\f(1,a)的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．
答案：②
3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则公比q＝________．
解析：由定义知eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝eq\f(a4,a3)＝eq\f(a5,a4)＝q，则a2＝a1q＝2，①
a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝eq\f(1,4)，②
所以②÷①得q3＝eq\f(1,8)，所以q＝eq\f(1,2).
答案：eq\f(1,2)
4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________．
解析：由等比数列定义知eq\f(a7,a6)＝eq\f(a6,a5)＝eq\f(a5,a4)＝q.
所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81，
a6＝a5q＝－81×(－3)＝243，
a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.
答案：－729

等比数列的判定[学生用书P29]
观察下面几个数列，判断是不是等比数列．
(1)数列1，2，6，18，54；
(2)数列{an}中，已知eq\f(a2,a1)＝2，eq\f(a3,a2)＝2；
(3)常数列a，a，…，a；
(4)数列{an}中，eq\f(an＋1,an)＝q(q为常数，q≠0)，其中n∈N*.
【解】(1)不符合等比数列的定义，故不是等比数列．
(2)不一定是等比数列，当数列只有三项时，它是等比数列；当数列多于3项时，eq\f(a4,a3)不一定也等于2，故它不一定是等比数列．
(3)不一定是等比数列．当a＝0时，eq\f(a,a)无意义，不是等比数列；当a≠0时，eq\f(a,a)＝1(常数)，数列是等比数列．
(4)是等比数列．等比数列的定义用符号表示就是eq\f(an＋1,an)＝q(q为常数，q≠0)(n∈N*)．
eq\a\vs4\al()
(1)关于等比数列
①定义中“同一个常数”非常重要，切不可丢掉．
②常数列是等差数列，但不一定是等比数列，各项都为0的常数列，不是等比数列；各项都不为0的常数列，是等比数列．
③定义给出了等比数列任意相邻两项的递推关系：eq\f(an＋1,an)＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)，即an＋1＝anq(n∈N*)，注意an＋1与an的顺序．
(2)判断等比数列
①紧扣定义，是判断一个数列是不是等比数列的通法；