高中数学 第2章 数列 2.3.1 等比数列的概念学案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学学案.doc

102．3.1等比数列的概念1.理解等比数列的概念．2.理解等比中项的概念．3.能够利用等比数列的定义去解决一些问题．[学生用书P29])1．等比数列的概念(1)定义：一般地如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比都等于同一个常数那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比公比通常用字母q表示．(2)表达式：eq\f(an＋1an)＝q(q为常数q≠0)．2．等比中项如果aGb这三个数成等比数列则G叫做a和b的等比中项G＝±eq\r(ab)．3．等比数列的判定方法(1)定义法：对于数列{an}若eq\f(an＋1an)＝q(q为常数q≠0)则数列{an}是等比数列．(2)等比中项法：对于数列{an}若anan＋2＝aeq\o\al(2n＋1)(an·an＋1·an＋2≠0n∈N*)则数列{an}是等比数列．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数则该数列为等比数列．()(2)等比数列的首项不能为零但公比可以为零．()(3)常数列一定为等比数列．()(4)任何两个数都有等比中项．()解析：(1)错误根据等比数列的定义只有比值为同一个常数时该数列才是等比数列．(2)错误当公比为零时根据等比数列的定义数列中的项也为零．(3)错误当常数列不为零数列时该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项异号时不存在等比中项．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列数列为等比数列的序号是________．①2223×22；②eq\f(1a)eq\f(1a2)eq\f(1a3)eq\f(1a4)eq\f(1a5)(a≠0)；③s－1(s－1)2(s－1)3(s－1)4(s－1)5；④00000.解析：eq\f(222)≠eq\f(3×2222)所以①不是等比数列；②是首项为eq\f(1a)公比为eq\f(1a)的等比数列；③中当s＝1时数列为00000所以不是等比数列；④显然不是等比数列．答案：②3．等比数列{an}中a2＝2a5＝eq\f(14)则公比q＝________．解析：由定义知eq\f(a2a1)＝eq\f(a3a2)＝eq\f(a4a3)＝eq\f(a5a4)＝q则a2＝a1q＝2①a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝eq\f(14)②所以②÷①得q3＝eq\f(18)所以q＝eq\f(12).答案：eq\f(12)4．在等比数列{an}中a4＝27q＝－3则a7＝________．解析：由等比数列定义知eq\f(a7a6)＝eq\f(a6a5)＝eq\f(a5a4)＝q.所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81a6＝a5q＝－81×(－3)＝243a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.答案：－729等比数列的判定[学生用书P29]观察下面几个数列判断是不是等比数列．(1)数列1261854；(2)数列{an}中已知eq\f(a2a1)＝2eq\f(a3a2)＝2；(3)常数列aa…a；(4)数列{an}中eq\f(an＋1an)＝q(q为常数q≠0)其中n∈N*.【解】(1)不符合等比数列的定义故不是等比数列．(2)不一定是等比数列当数列只有三项时它是等比数列；当数列多于3项时eq\f(a4a3)不一定也等于2故它不一定是等比数列．(3)不一定是等比数列．当a＝0时eq\f(aa)无意义不是等比数列；当a≠0时eq\f(aa)＝1(常数)数列是等比数列．(4)是等比数列．等比数列的定义用符号表示就是eq\f(an＋1an)＝q(q为常数q≠0)(n∈N*)．eq\a\vs4\al()(1)关于等比数列①定义中“同一个常数”非常重要切不可丢掉．②常数列是等差数列但不一定是等比数列各项都为0的常数列不是等比数列；各项都不为0的常数列是等比数列．③定义给出了等比数列任意相邻两项的递推关系：eq\f(an＋1an)＝q(q为常数q≠0n∈N*)即an＋1＝anq(n∈N*)注意an＋1与an的顺序．(2)判断等比数列①紧扣定义是判断一个数列是不是等比数列的通法；②举反例法是否定结论常用的方法．1.在数列{an}中若an>0且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列．证明：法一：因为an>0所以an＋3>0.又因为an＋1＝2an＋3所以eq\f(an＋1＋3an＋3)＝eq\