【步步高】2015届高考数学总复习 3.1导数的概念及其运算配套文档 理 新人教B版.doc

§3.1导数的概念及其运算

1．函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
2．函数f(x)在点x0处的导数
(1)定义
函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝l，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即
eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)．
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．
3．函数f(x)的导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或yx′、y′)．
4．基本初等函数的导数公式

5.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
6．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同． (×)
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)． (×)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． (√)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (×)
(5)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x. (×)
(6)函数y＝eq\r(x3)的导数是y′＝eq\r(3x2). (×)
2．已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是()
A．－1B．±1C．1D．±3
答案B
解析由y＝x3知y′＝3x2，∴切线斜率k＝y′|x＝a＝3a2.
又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，∴3a2·(－eq\f(1,3))＝－1，
∴即a2＝1，a＝±1，故选B.
3．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是
()

答案D
解析由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，
说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，
说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
4．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
答案2
解析设ex＝t，则x＝lnt(t>0)，∴f(t)＝lnt＋t
∴f′(t)＝eq\f(1,t)＋1，∴f′(1)＝2.
5．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．
答案eq\f(1,3)
解析y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，

∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，
其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点为A(eq\f(2,3)，eq\f(2,3))，
所以三角形的面积
S＝eq\f(1,2)×1×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).

题型一利用定义求函数的导数
例1利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．
思维启迪正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是解本题的关键．
解f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(x→x0))eq\f(fx－fx0,x－x0)＝eq\o(lim,\s\do4(x→x0))eq\f(x3－x\o\al(3,0),x－x0)