【步步高】2015届高考数学总复习 3.1导数的概念及其运算配套文档 理 新人教B版.doc

§3.1导数的概念及其运算1．函数y＝f(x)在区间[x0x0＋Δx]的平均变化率eq\f(ΔyΔx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0Δx).2．函数f(x)在点x0处的导数(1)定义函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率eq\o(lim\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0Δx)＝l通常称为f(x)在点x0处的导数并记作f′(x0)即eq\o(lim\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0Δx)＝f′(x0)．(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．3．函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(ab)内每一点x导数都存在则称f(x)在区间(ab)可导．这样对开区间(ab)内每个值x都对应一个确定的导数f′(x)．于是在区间(ab)内f′(x)构成一个新的函数我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数记为f′(x)(或yx′、y′)．4．基本初等函数的导数公式5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fxgx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x[gx]2)(g(x)≠0)．6．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(×)(2)求f′(x0)时可先求f(x0)再求f′(x0)．(×)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(5)若f(x)＝a3＋2ax－x2则f′(x)＝3a2＋2x.(×)(6)函数y＝eq\r(x3)的导数是y′＝eq\r(3x2).(×)2．已知曲线y＝x3在点(ab)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直则a的值是()A．－1B．±1C．1D．±3答案B解析由y＝x3知y′＝3x2∴切线斜率k＝y′|x＝a＝3a2.又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直∴3a2·(－eq\f(13))＝－1∴即a2＝1a＝±1故选B.3．如图所示为函数y＝f(x)y＝g(x)的导函数的图象那么y＝f(x)y＝g(x)的图象可能是()答案D解析由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0＋∞)上单调递减说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0＋∞)上也单调递减故可排除AC.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同故可排除B.故选D.4．(2013·江西)设函数f(x)在(0＋∞)内可导且f(ex)＝x＋ex则f′(1)＝________.答案2解析设ex＝t则x＝lnt(t>0)∴f(t)＝lnt＋t∴f′(t)＝eq\f(1t)＋1∴f′(1)＝2.5．曲线y＝e－2x＋1在点(02)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．答案eq\f(13)解析y′＝－2e－2x曲线在点(02)处的切线斜率k＝－2∴切线方程为y＝－2x＋2该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点为A(eq\f(23)eq\f(23))所以三角形的面积S＝eq\f(12)×1×eq\f(23)＝eq\f(13).题型一利用定义求函数的导数例1利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．思维启迪正确理解导数的定义理解导数的几何意义是解本题的关键．解f′(x0)＝eq\o(lim\s\do4(x→x0))eq\f(fx－fx0x－x0)＝eq\o(lim\s\do4(x→x0))eq\f(x3－x\o\al(30)x－x0)＝eq\o(lim\s\do4(x→x0))(x2＋xx0＋xeq\o\al(20))＝3xeq\o\al(20).曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为y