高中数学 2.5平面向量应用举例学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案.doc

第二章平面向量
2．5平面向量应用举例

1．体会向量方法在几何问题中的应用．
2．体会向量方法在物理中的应用．

eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)

一、向量方法在几何中的应用
1．证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b≠0))⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．
2．证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．
3．求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)．
4．求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\s\up12(2))．
eq\a\vs4\al(思考应用)
1．用向量方法解决平面几何问题的三个步骤是什么？
解析：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
二、向量方法在物理中的应用
1．力、速度、加速度、位移是向量．
2．力、速度、加速度、位移的合成与分解是向量的加法和减法运算，运动的叠加也用到向量的合成．
3．动量mv是向量．
4．功即是力F与所产生的位移s的数量积．
eq\a\vs4\al(思考应用)
2．你能利用向量解决物理上的常见问题吗？试一试：如图所示，一物体受到两个大小均为60N的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向．

解析：设eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))分别表示两力，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为邻边作平行四边形OACB，则eq\o(OC,\s\up6(→))即为合力．
由已知可得△OAC为等腰三角形，且∠COA＝30°.
过A作AD⊥OC于D，则在Rt△OAD中，
|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·cos30°＝60×eq\f(\r(3),2)＝30eq\r(3)(N)．
故|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝60eq\r(3)(N)，即合力的大小为60eq\r(3)N，方向与水平方向成30°角．

eq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)

1．▱ABCD的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，则顶点D的坐标为(B)
A．(2，1)B．(2，2)
C．(1，2)D．(2，3)
2．已知△ABC，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，且a·b<0，则△ABC的形状是(A)
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
3．平行四边形ABCD中，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\o(AD,\s\up6(→))))，则下列判断正确的是(A)
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是正方形
C．四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形
D．四边形ABCD是邻边不垂直的菱形

4．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝2．
解析：先建立平面直角坐标系，结合向量数量积知识求解．
如图，以A为坐标原点AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(1，2)，
∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，2)，
∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝1×(－2)＋2×2＝2.

eq\x(基)eq\x(础)eq\x(提)eq\x(升)

1．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60