高中数学 2.5平面向量的应用举例学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案.doc

2.5向量的应用一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议向量是一种处理几何、物理等问题的工具了解结合实际背景解决问题二、预习指导1.预习目标(1)了解向量的加法与物理中力的合成、速度的合成之间的联系经历用向量方法解决物理中有关问题的过程；(2)体会向量是一种数学工具掌握用向量方法解决某些简单的几何问题发展运算能力和解决实际问题的能力．2.预习提纲(1)物理中如果力F与物体位移s的夹角为那么F所做的功W=．(2)证明直线平行或三点共线常用向量共线定理；证明垂直常证两个向量的数量积为0；求向量的夹角常用公式cos==．(3)思考：向量可以解决哪些常见的几何问题和物理问题？解决这些问题的基本步骤是什么？3.典型例题(1)利用向量解决物理中有关的力、速度问题向量是既有大小又有方向的量物理中的很多量都是向量如力、速度、加速度等.用向量解决物理问题的方法：把物理问题转化为数学问题抽象成数学模型对这个数学模型进行研究进而解释相关物理现象.4.自我检测(1)一质点受到平面上的三个力(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知成角且的大小分别为2和4则的大小为．(2)已知向量与垂直则实数的值为．(3)在平面直角坐标系xOy中四边形ABCD的边AB∥DCAD∥BC已知点A(－20)B(68)C(86)则D点的坐标为___________.(4)在平面直角坐标系中O为坐标原点已知两点A(31)B(-13)若点C满足其中∈R且+=1则点C的轨迹方程为_______.(5)一艘船距对岸km处以2km/h的速度向垂直于岸的方向行驶到达对岸时船的实际航程为8km求河水的流速.三、课后巩固练习Ａ组1．已知向量与的夹角为则等于．2．已知=(3λ)=(4-3)若与的夹角为锐角则λ的取值范围为_______．3．若A(02)B(31)C(-2k)三点共线则向量＝+的模为．4．设点是正边形的中心则在下列各结论中：①；②③++…+=；④=0(i=12…n)．正确的共有个．5．已知向量=(23)=(x6)若││=||||则x＝．6．已知是两个向量集合则．7．在四边形ABCD中有＝＝=0则该四边形是．8．设向量=(1－3)=(－24)若表示向量4、3－2、的有向线段首尾相接能构成三角形则向量为．9．已知且关于的方程有实根则与的夹角的取值范围是．Ｂ组10．平面上三个力F1、F2、F3作用于同一点O而处于平衡状态成求(1)F3的大小；(2)F3与F1的夹角．11．边形ABCD中已知+==0试证明四边形ABCD是菱形．12．在四边形ABCD中AB2+CD2=AD2+BC2成立求证：AC⊥BD．13．已知与垂直与的夹角为且求实数的值及与的夹角．知识点题号注意点向量是一种处理几何、物理等问题的工具注意实际问题的限制四、学习心得五、拓展视野例1如图一条河的两岸平行河的宽度m一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度||=10km/h水流的速度||=2km/h问行驶航程最短时所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：如果水是静止的则船只要取垂直于对岸的方向行驶就能使行驶航程最短所用时间最短．考虑到水的流速要使船的行驶航程最短那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．解：=(km/h)所以(min)．答：行驶航程最短时所用的时间是3.1min．点评：上述问题中涉及速度等物理量可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要把分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量再利用运动学知识建立数学模型最后利用向量的知识求解.(2)利用向量解决平面几何中有关的问题向量集数与形于一身既有代数的抽象性又有几何的直观性因而向量方法是几何研究的一个有力的工具.在运用向量方法解决平面几何问题时将几何问题转化为向量问题是关键.对具体问题是选用向量几何法还是选用向量坐标法是难点利用向量坐标法会给解决问题带来方便.例2求证△ABC的三条高相交于一点.证明：设△ABC的AB、AC边的高分别为CFBE它们交于点H连接AH(如图)设则∵CH⊥ABBE⊥AC∴即两式相减得即∵∴BC⊥AH即三角形三条高相交于一点.例3如图平行四边形ABCD中点E、F分别是AD、DC边的中点BE、BF分别与AC交与R、T两点证明：AR=RT=TC.解：设则.由于与共线所以设.又因为与共线设=因为=+所以.因此即.由于向量不共线要使上式为则有解得.所以=.同理=.所以AR=RT=TC.点评：本题中由于R、T是对角线AC上两点要证AR=RT=TC只需证明AR、RT、TC都等于即可.向量与三角形的四“心”三角形四“心”即三角形的外心、重心、垂心、内心．外心即三角形的外接