高中数学 2.3.1平面向量基本定理学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案.doc

第二章平面向量
2．3平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1平面向量基本定理

1．准确理解平面向量的基本定理．
2．理解能成为向量基底的条件是不共线．
3．理解向量的夹角前提条件是共起点．
4．理解平面向量的正交分解．

eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)
一、平面向量的基本定理
1．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a_＝λ1e1＋λ2e2．
2．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
练习1：已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1不共线，a与e2不共线(填共线或不共线)．
练习2：已知a、b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝0．
eq\a\vs4\al(思考应用)
1．平面内的基底是不是唯一的？
解析：平面内的基底可以有无数多个，只要两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底．
二、向量的夹角
1．不共线向量的夹角．
显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．
2．共线向量的夹角．
当θ＝0°时，表示a与b同向；
当θ＝180°时，表示a与b反向．
3．垂直向量．
如果a与b的夹角是90°就称a与b垂直，记作a⊥b.
eq\a\vs4\al(思考应用)
2．向量的夹角与直线的夹角有什么不同？向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角与向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(BO,\s\up6(→))的夹角相同吗？
解析：不同．向量的夹角的范围为[0°，180°]，而直线的夹角范围为[0°，90°]．设向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为θ，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(BO,\s\up6(→))的夹角为π－θ.
eq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)

1．下面四种说法中，正确的是(B)
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量；
④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数对一定是唯一的．
A．②④B．②③④C．①③D．①③④
2．设O是平行四边形ABCD的两对角线的交点，下列向量组：①eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→)).其中可作为表示这个平行四边形所在平面内的所有向量的基底是(B)
A．①②B．①③C．①④D．③④
3．设e1，e2为两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则(B)
A．λ＝0B．λ＝－eq\f(1,2)
C．λ＝－1D．λ＝－2
4．已知a，b是两个不共线的向量，m，n∈R且ma＋nb＝0，则(C)
A．a＝0且n＝0
B．m，n的值不确定
C．m＝n＝0
D．m，n不存在

eq\x(基)eq\x(础)eq\x(提)eq\x(升)
1．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么(A)
A．若实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数
C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对
2．如果3e1＋4e2＝a，2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________．
答案：3a－4b－2a＋3b
3．设e1，e2是平面内一组基底，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1－2e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝4e1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝8e1－9e2