【步步高】2015届高考数学总复习 13.2复数配套文档 理 新人教B版.doc

§13.2复数

1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若b≠0且a＝0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d；a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0.
(3)共轭复数：
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数，复数z＝a＋bi的共轭复数eq\x\to(z)＝a－bi.
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi←eq\o(――→,\s\up7(一一对应))有序实数对(a，b)←eq\o(――→,\s\up7(一一对应))点Z(a，b)．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)
＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律：
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解． (×)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi. (×)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． (×)
(4)原点是实轴与虚轴的交点． (√)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模． (√)
2．(2012·北京)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的 ()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案B
解析当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.
故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
3．(2013·陕西)设z是复数，则下列命题中的假命题是 ()
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
答案C
解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2≥b2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,|a|≥|b|))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,|a|≥|b|)).所以a＝0时b＝0，b＝0时a∈R.故z是实数，所以A为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z2<0时，z一定是虚数，故B为真命题；由于i2＝－1<0，故C为假命题，D为真命题．
4．(2013·四川)如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭
复数的点是 ()
A．A B．B
C．C D．D
答案B
解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示eq\x\to(z).选B.
5．(2013·广东)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是 ()
A．2 B．3
C．4 D．5
答案D
解析由题意知x＋yi＝eq\f(3＋4i,i)＝4－3i，所以|x＋yi|＝|4－3i|＝eq\r(42＋－32)＝5.

题型一复数的概念
例1(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若eq\f(z1,z2)为纯虚数，则复数eq\f(z1,z2)的虚部为()
A．1B．iC.eq\f(2,5)D．0
(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
思维启迪(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数．
(2)直接根据复数相等的条件求解．
答案