布丰投针数学分析与实验设计(原创).pdf

Buffon投针数学分析与实验设计
(蒲丰投针/布丰投针)

1777年法国科学家D·Buffon提出的一种计算圆周率的方法——随机投
针法，即著名的布丰投针实验。

问题：
向平面内间距为d的一组平行直线，任意投掷一根长
为l()ld的针，求针与直线相交的概率。

解法一：
设针的中点为M，M与直线的距离为x。针或针的延长
线与直线的夹角为：
（这里为什么要选取针的中点来计算距离呢？选取针的一
个端点来计算距离不可以吗？答案是：可以选取针的一个端
点来计算距离，不仅如此，还可以选取针的任意一个点来计
算距离。不过非M点不具备对称性，需要考虑的情况会变得
复杂。为了便于解决问题，这里选择中点M来计算距离）

d
则最小值是0，最大值是；x的最小值为0，最大值是。
2
取值区域为：
d
0x
2
0

l
（由于xsin，当并且ld时，x取得最
22
d
大值等于。最小值为0，有三种情况：(1):l0
2
(2):0或(3):M点在直线上）
针与直线相交的条件是M点与直线的距离x满足关系式：
l
0xsin
2
画出区域图：

则相交的概率P等于相交的情况(正弦曲线与横轴围成的橙
色区域)与全部可能的情况(矩形区域)的比值：

l
sind
022l
P
d
d
2

MHL
QQ：1208980380
2014-2-10

解法二：
这种解法不用微积分知识，但需要知道两个原理：
在ld情况下，
(1)、长度为l的针与直线相交的概率是长度为2l的针
与直线相交概率的一半。
(2)、两根长度为l的针，无论连接成什么形状，压线的
概率和两针单独各扔一次压线的概率之和相等。

证明(1)：

如上图所示，AB针的长度为2l，CD针长度为l。在AB针
或AB针的延长线与直线的夹角为，AB针的中点M的取
值范围为M',''M的情况下，AB与直线相交；CD针在
相同的夹角的情况下，中点m的取值范围为m',''m的
情况下，CD与直线相交。因为AB长度是CD的两倍并且夹
角相等，所以M,'M''是m,'m''的两倍，于是CD
与直线相交的概率是AB与直线相交的概率的一半。对于其
余任意夹角都有这个结论。所以：长度为l的针与直线相交
的概率是长度为2l的针与直线相交概率的一半。

证明(2)：

如上图所示，左边两根线段长度相等，且长度之和等于右边
图形长度。那么左边两根线段每次投掷，落于任何位置、任
何角度的概率相等。如果我们将这两条线段每次随机的情况
视为一次组合，那么两根线段出现各种组合的概率也相等，
并且各种组合压线的概率等于两条线段分别压线的概率之
和。现在选取右图这种组合，两根线段连接在一起，由上面
可以知道，它压线的概率等于左边两条线段压线概率之和。
l
由(1)和(2)我们可以得出一些结论：n根长度为的小
n
针仍出去后压线的概率之和与一根长为l的针扔出去后压线
l
的概率相等；将n根长为的小针连接成任意形状后扔出去
n
压线的概率与长为l的针扔出去压线的概率相等；当
n，线就是曲线，所以结论可以进一步推广：随机投
掷，长度相等的曲线压线概率相等。
现在我们将长为l的针弯曲成周长为l的圆，随机投掷
出去后与直线相交的概率等于不弯曲时的针和直线相交的
概率(这里要注意前提条件ld，否则，我们拿一个很大的
圆随机投掷，每次必定有交点，概率等于1；但将圆拉直成
线段，却有可能出现不相交的情况，概率小于1，两者概率
不等)。

周长为l的圆与直线相交的概率：

从上图可以看出，圆的圆心从上面A运动到下面B时，
圆都与直线相交，我们将所有相交的距离除以直线的距离d
就等于相交的概率了。从上图可以看出，每个直线间距d，
对应的相交情况是两个直径长度，所以相交的概率P等于：
2AB2l
P
dd

MHL
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2014-2-10

Buffon投针实验设计
向平面内间距为d的一组平行直线，投掷一根长为
2l
l()ld的针，针与直线相交的概率P，用这个公
d
式来设计实验：
设投掷针的次数为m，其中针与直线相交的次数为n，
n2l2lm
代入上面公式有limlim
mmdmdn
为了简化，我们选取针的长度等于平行直线间距的一
m
半，即2ld，那么有lim
mn
实验设计：
拿一个透明方盒，底部画出等距的若干平行线，将长度
为平行直线间距一半的圆柱形小钢针放入盒子，然后像摇骰
子一样抛动钢针，记录针与直线相交的次数n，和抛针的总
次数m，最后将m除以n就得出的近似值。

有个问题：我们每次实验选择的m值是有限