Banach空间中一类奇异积分边值问题解的存在性_汪子莲.pdf

第47卷第2期郑州大学学报(理学版)Vol.47No.2
2015年6月J．ZhengzhouUniV．(Nat．Sci．Ed．)Jun.2015

Banach空间中一类奇异积分边值问题解的存在性

汪子莲1，丁珂2

(1．兰州工业学院基础学科部甘肃兰州410075;
2．伊利诺伊大学香槟分校数学学院美国诺伊州香槟450001)

摘要:运用SadoVskii不动点定理讨论了Banach空间中一类二阶奇异积分边值问题解的存在性，获得了此类问题解
存在的充分性条件．
关键词:积分边值问题;SadoVskii不动点定理;非紧性测度;存在性
中图分类号:O175．8文献标志码:A文章编号:1671－6841(2015)02－0013－07
DOI:10．3969/j．issn．1671－6841．2015．02．003

0引言

带有积分边界条件的常微分方程边值问题产生于应用数学及物理学的不同领域．热传导、化学工程等领
域中的许多模型都可归为带有积分边界条件的微分［1－2］．
带有积分边界条件的边值问题是一类十分有趣且重要的研究课题，其包含两点、三点、多点等多种类型
的边值问题，且以这些边值问题为特例［3－7］．实数空间中积分边值问题解的存在性被许多学者研究过．但是，
迄今为止，对Banach空间中带有积分边界条件的边值问题的研究却极少．为此，本文将运用SadoVskii不动
点定理研究Banach空间中一类带有积分边界条件的二阶非线性常微分方程边值问题解的存在性．
文［8］研究了二阶三点边值问题
u″(t)+f(t，u(t)，u'(t))=θ，t∈(0，1)
{(1)
u(0)=θ;u(1)=αu(η)
解的存在性，其中η∈(0，1)，f为一个连续函数．
受文［8］的启发，本文考察积分边值问题
u″(t)+h(t)f(t，u(t)，u'(t))=θ，t∈(0，1)
()
{12
u(0)=g(t)u(t)dt;u(1)=θ
∫0
1
或者u(0)=θ;u(1)=g(t)u(t)dt(3)
∫0
解的存在性，其中f∈C(I×E×E，E)，I=［0，1］，θ是Banach空间(E，‖·‖)中的零元素，g∈L1［0，1］
且非负，h∈C((0，1)，［0，+∞))，在t=0和t=1处有奇性．
注1本文将文［8］的结果推广到积分边值问题，并且考虑了h在t=0及t=1处奇异的情形．
注2当g≡0，h≡1且非线性项f不含一阶导项时，边值问题(2)、(3)就退化为文［9］研究的问题．
m
定义［10］设是实空间，是中有界集，令(){:，()}，其中
1EBanachSEαS=infδ＞0S=∪SidSi≤δ
i=1
()表示集的直径，显然，()则()叫作的非紧性测度
dSiSi0≤αS＜+∞．αSS．
定义［10］设，是实空间，，设:有界连续
2E1E2BanachDEAD→E2．
(ⅰ)如果存在常数k≥0，使得对任意有界集SD，都满足α(A(S))≤kα(S)，则称A是D上的k－

收稿日期:2014-12-23
作者简介:汪子莲(1964－)，女，甘肃临夏人，教授，主要从事常微分方程边值问题研究，E-mail:[e-mail]．
引用本文:汪子莲，丁珂．Banach空间中一类奇异积分边值问题解的存在性［J］．郑州大学学报:理学版，2015，47(02):13－19．
14郑州大学学报(理学版)第47卷

集压缩映象．特别地，当k＜1时的k－集压缩映象称为严格集压缩映象．
(ⅱ)如果对任意非相对紧的有界集SD都满足α(A(S))＜α(S)，则称A是D上的凝聚映象．
显然，若A是一个严格集压缩映象，则A是凝聚映象．
［］
引理110若HC［I，E］有界且等度连续，则α(H(t))于I连续且
()(())，(():)(())，
αCH=maxαHtαutdtu∈H≤αHtdt
t∈I∫I∫I
其中()，()分别表示［，］及()的非紧性测度
αC·α·HCIEHtE．
［］
引理211设E是实Banach空间，DE为有界凸闭集，若算子A:D→D是凝聚映象，则A于D中有
一个不动点．
显然，(［，］，)在范数()下构成一个空间令
CIE‖·‖‖u‖C=sup‖ut‖Banach．
t∈I
FC(I，E)={u∈C(I，E):sup‖u(t)‖/(1+t)＜+∞}，
t∈I
则(，)在范数()()下为一个空间
FCIE‖u‖F=sup‖ut‖/1+tBanach．
t∈I
令DC1(I，E)={u∈C1(I，E):sup‖u(t)‖/(1+t)＜+∞，sup‖u'(t)‖＜+∞}，则DC1(I，E)在范
t∈It∈I
数{，()}下为一个空间，其中()
‖u‖D=max‖u‖F‖'ut‖CBanach‖u'‖C=