Banach 空间高阶周期边值问题正解的存在性.pdf

数学杂志
Vo1．34(2014)
NO．5J．ofMath．(PRC)

Banach空间高阶周期边值问题正解的存在性

李小龙
(陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳745000)

摘要：本文研究了Banach空间E中的高阶周期边值问题正解的存在性．利用非紧性测度的估
计技巧与凝聚映射的不动点指数理论，获得了该问题正解的存在性结果，推广了某些已有的相应结果．
关键词：周期边值问题；闭凸锥；正解；凝聚映射；不动点指数
MR(2010)主题分类号：34G20；34B18中图分类号：O175．15
文献标识码：A文章编号：0255—7797(2014)05—0909-07

1引言

设E为实的Banach空间，其正元锥P为正规锥，正规常数为Ⅳ，记I=[0，27r]，本文讨
论E中的高阶周期边值问题：
{1L㈤n(u((。0t))=-=f((t,(2u丌(t))，i：=t0'，C11，I．⋯，一，n一—1(1．一1)

正解的存在性．其中L札(t)=(”)(t)+∑ai()(t)是n阶线性微分算子，a0>0，at∈，i=
i=O
1，2，⋯，佗一1，n≥2，f：×P—P连续．
对于L的一些具体形式，其解和正解的存在性已有许多的结论[1-4l，采用的方法主要
是拓扑度及相关的不动点方法与上下解的单调迭代方法．很少有文献在一般Banach空间中
讨论高阶周期边值问题正解的存在性．本文在一般Banach空间中利用凝聚映射的不动点指
数理论讨论了方程(1．1)正解的存在性．方程(1．1)的正解是指U∈C(，E)满足方程(1．1)，
并且u(t)>0，0<t<1．
Banach空间的常微分方程与普通常微分方程的最大差异是，把微分方程转换为与之等
价的积分方程后，相应的积分算子不再具有紧性．为了对该积分算子应用凝聚映射的不动点
定理，通常需要给．厂附加一些非紧性测度条件．本文使用了如下的非紧l生测度条件：
(H)对VR>0，记PR=x∈P：llXlI≤R)，．厂(×)有界，且存在常数L=LR∈
(0，)使得对Vt∈I，DCPR，有a(f(t，D))≤La(D)．
在研究Banach空间常微分方程的正解时，许多文献都假设．厂在有界集上一致连续，如
文献[5]．本文利用新的非紧性测度估计技巧[7]删去了对．厂的一致连续性．

2预备知识

收稿日期：2012．06—29接收日期：2012。12．21
基金项目：陇东学院青年科技创新项目fXYZKll09)．
作者简介：李小龙(1976一)，男，甘肃甘谷，讲师，主要研究方向：抽象发展方程
910数学杂志

设c(x，E)为定义于取值于E的全体连续函数按范数IIu_l=m⋯axIlu(构成的
Banach空间，记C(I，P)=u∈c(i，E)I(t)∈P，t∈)，则c(I，P)为C(I，E)中的正规
锥，正规常数亦为Ⅳ，以下使用的C(I，E)中半序≤由C(I，P)引出．
设()=+an-1A一+⋯+a0为的特征多项式，假设()满足条件：
(Ho)(())cz∈C【lImzI<)，
其中(())表示()在复平面C上的所有零点的集合．
考虑线性边值问题：

：ll
～
由文献[4】的引理3知，条件(H0)成立时该问题有唯一解rn(t)且rn(￡)>0，t∈I．设
一
mn()，=max(∈)·记

，

rn(t-8。

万
2+，，

贝0
0<m≤G(，8)≤，Vt，8∈I．(2．2)

将()代入方程(2-1)的第一式，并从。到2丌积分，得(￡)出=，可通过直接计算
得2丌G(t
，s)ds=去．V∈(，E)，依据文献[4]的引理1知，线性周期边值问题

JLu@)=)，t∈，
1((0)=札((27r)，i=0，1，⋯，佗一

有唯一解且
()：／G(，s)h(s)ds．

记=m／，取C(I，P)的子锥：

K={u∈c(，P)J(t)≥(7_)，Vt，7-∈)．(2．3)

定义算子Q如下：
f27r
(Qu)(t)=／G(，8)f(8，u(s))ds，(2．4)
√0
则c2：C(I，P)c(i，P)连续，易证方程(1．1)的解即为积分算子Q的不动点．
为了利用凝聚映射的不动点指数理论，先引入非紧性测度的相关结果．文中E与C(I，E)
中有界集的Kuratiwski非紧性测度均由(·)表示．对BCc(x，E)，记B(t)={(t)I∈
BcE，t∈I．
No．5李小龙：Banach空间高阶周期边值问题正解的存在性911

引理2．I[]设BCc(i，E)为等度连续的有界函数族，则(B(￡))在上连续，且
(B)=maxa(B(t))·
引理2．2【。】设B={]．CC(I，E)为可列集，若存在∈L()使得

1l(t)ll≤(t)a．et∈，n=1，2，⋯，

则(B(t))在上可积